Considere o seguinte conjunto S=\left\{y \in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) ; y^{\prime \prime}-y=0\right\}, onde y^{\prime \prime} representa a derivada de segunda ordem de y e \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) é o conjunto das funções reais contínuas que admitem segunda derivada. Verifique que S é um subespaço vetorial de \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define \displaystyle S=\{\,y\in \mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R)\mid y''-y=0\}
e pede para mostrar que S é subespaço vetorial de \mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R).
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. Mostrar que a função zero pertence a S.
  2. Mostrar que, se y_1,y_2\in S, então y_1+y_2\in S.
  3. Mostrar que, se y\in S e \alpha\in\mathbb R, então \alpha y\in S.

Passo 2

Verificar que a função zero \displaystyle y_0(x)=0 pertence a S.
Como y_0''(x)=0 para todo x, temos
y_0''(x)-y_0(x) = 0-0 = 0.
Logo y_0\in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma.
Sejam y_1,y_2\in S. Então, para todo x,
y_1''(x)-y_1(x)=0 \quad\text{e}\quad y_2''(x)-y_2(x)=0.
Considere y=y_1+y_2. Então
y''(x)-y(x) =(y_1+y_2)''-(y_1+y_2) =y_1''+y_2'' - (y_1+y_2) =(y_1''-y_1)+(y_2''-y_2) =0+0 =0.
Logo y_1+y_2\in S.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Seja y\in S e \alpha\in\mathbb R. Então
(\alpha y)'' - (\alpha y) =\alpha\,y'' - \alpha\,y =\alpha\,(y''-y) =\alpha\cdot 0 =0.
Portanto \alpha y\in S.

Resposta

S satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de \mathcal C^2(\mathbb R,\mathbb R). Consequentemente, S é de fato um subespaço vetorial.

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