Considere o seguinte conjunto
, onde
representa a derivada de segunda ordem de
e
é o conjunto das funções reais contínuas que admitem segunda derivada. Verifique que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que é subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
e pede para mostrar que
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
- Mostrar que a função zero pertence a
. - Mostrar que, se
, então . - Mostrar que, se
e , então .
Passo 2
Verificar que a função zero
pertence a
.
Como para todo
, temos
Como
Logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma.
Sejam . Então, para todo
,
Sejam
Considere
. Então
Logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Então
Seja
Portanto
.