Considere três pontos colineares e , sendo que fica entre e e . Se é o ponto médio de e é o ponto médio de mostre que .
Passo 1
O enunciado diz que , e são colineares com entre e e . Os pontos médios de e são e , respectivamente. Queremos mostrar que o segmento tem o mesmo comprimento de . Vamos usar geometria vetorial e a definição de ponto médio.
Passo 2
Definimos o vetor
Como AB=BC e os três pontos são colineares no mesmo sentido, temos
BC = u
Passo 3
Escolhemos um referencial com origem em O. Seja
OA = a
Então
OB = OA + AB = a + u,
OC = OB + BC = (a + u) + u = a + 2u
Passo 4
Como M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, suas posições são
OM = OA + tfrac12AB = a + tfrac12u,
ON = OB + tfrac12BC = (a + u) + tfrac12u = a + tfrac32u
Passo 5
O vetor que vai de M a N é
MN = ON - OM = l(a + tfrac32ur) - l(a + tfrac12ur) = u