Considere três pontos colineares A, B e C, sendo que B fica entre A e C e A B=B C. Se M é o ponto médio de A B e N é o ponto médio de B C mostre que M N=A B.

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são colineares com B entre A e C e ,AB=BC. Os pontos médios de AB e BC são M e N, respectivamente. Queremos mostrar que o segmento MN tem o mesmo comprimento de AB. Vamos usar geometria vetorial e a definição de ponto médio.

Passo 2

Definimos o vetor
u = AB
Como AB=BC e os três pontos são colineares no mesmo sentido, temos
BC = u

Passo 3

Escolhemos um referencial com origem em O. Seja
OA = a
Então
OB = OA + AB = a + u,
OC = OB + BC = (a + u) + u = a + 2u

Passo 4

Como M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, suas posições são
OM = OA + tfrac12AB = a + tfrac12u,
ON = OB + tfrac12BC = (a + u) + tfrac12u = a + tfrac32u

Passo 5

O vetor que vai de M a N é
MN = ON - OM = l(a + tfrac32ur) - l(a + tfrac12ur) = u
Como |u| = |AB| = AB, segue que
MN = |MN| = |u| = AB

Resposta

MN = AB.

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