Verifique se ( S,+, ) é um subcorpo de ( R,+,+é em cada um dos seguintes casos:
c) S=a+b raiz3 mid a, b in Q
(OBS… S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S subset K )

Passo 1

O enunciado define
S = a + braiz3 mid a,b in Q
e pede para verificar se S é um subcorpo de l(R,+,timesr). Para isso precisamos mostrar que
  1. SsubsetR é não-vazio e contém as identidades aditiva e multiplicativa;
  2. para todo x,yin S temos x-yin S e xcdot yin S;
  3. para todo xin Ssetminus0 o inverso multiplicativo x^-1 pertence a S.

Passo 2

Mostramos primeiro que S é não-vazio e contém as identidades. Note que
0 = 0 + 0raiz3in S, 1 = 1 + 0raiz3in S
Logo Sneqemptyset e 0,1in SsubsetR.

Passo 3

Sejam
x = a + braiz3, y = c + draiz3,
com a,b,c,dinQ. Então
x + y = (a+c) + (b+d)raiz3in S,
x - y = (a-c) + (b-d)raiz3in S
Como apm c e bpm d são racionais, S é fechado sob soma e diferença.

Passo 4

Usando os mesmos x e y acima, o produto é
xcdot y = (a + braiz3)(c + draiz3) = l(ac + 3bdr) + l(ad + bcr)raiz3
Como ac + 3bdinQ e ad+bcinQ, segue xcdot yin S. Além disso, já vimos que 1in S, então S tem identidade multiplicativa.

Passo 5

Para x=a+braiz3neq0 calculamos
x^-1 = 1a+braiz3 cdot a - braiz3a - braiz3 = a - braiz3a^2 - 3b^2
Como a,binQ, tanto a - braiz3 quanto a^2-3b^2 são racionais e a^2-3b^2neq0 (se fosse zero teríamos a+braiz3=0 com a,binQ, forçando a=b=0, contradição). Logo
x^-1 = aa^2-3b^2 ;+; -ba^2-3b^2,raiz3in S

Resposta

S satisfaz todos os axiomas de subcorpo em R, portanto é de fato um subcorpo de R.

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