São dados pontos A, B, C e D colineares com coordenadas x, y, z e w tais que x<y<z<w. Prove que A C=B D se e só se A B=C D.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos colineares A,B,C,D cujas abscissas satisfazem
x < y < z < w
Queremos provar que a igualdade de comprimentos
AC = BD
é equivalente à igualdade
AB = CD
O conteúdo principal é interpretar distâncias na reta real em termos de diferença de coordenadas.

Passo 2

Como todos os pontos estão em ordem crescente de abscissa, podemos escrever sem valor absoluto:
AB = y - x, AC = z - x, BD = w - y, CD = w - z

Passo 3

Suponha primeiro que AC = BD. Então
z - x = w - y
Somando x + y em ambos os lados, obtemos
z + y = w + x
Agora é só reorganizar essa soma:
w - z = y - x
que significa exatamente
CD = AB
Assim mostramos que AC=BD implica AB=CD.

Passo 4

Para a recíproca, suponha AB = CD. Então
y - x = w - z
Somando x + z em ambos os lados dá
y + z = w + x
e, rearranjando,
z - x = w - y,
ou seja,
AC = BD
Isso completa a prova da equivalência.

Resposta

Provou-se que AC = BD se e só se AB = CD.

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