São dados pontos
e
colineares com coordenadas
e
tais que
. Prove que
se e só se
.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos colineares
cujas abscissas satisfazem
Queremos provar que a igualdade de comprimentos
é equivalente à igualdade
O conteúdo principal é interpretar distâncias na reta real em termos de diferença de coordenadas.
Passo 2
Como todos os pontos estão em ordem crescente de abscissa, podemos escrever sem valor absoluto:
Passo 3
Suponha primeiro que
. Então
Somando
em ambos os lados, obtemos
Agora é só reorganizar essa soma:
que significa exatamente
Assim mostramos que
implica
.
Passo 4
Para a recíproca, suponha
. Então
Somando
em ambos os lados dá
e, rearranjando,
ou seja,
Isso completa a prova da equivalência.
Resposta
Provou-se que
se e só se
.