Considere as três situações descritas abaixo:
  • Situação 1: um cubo isolante de aresta a uniformemente carregado em todo o seu volume com uma carga total Q e uma superfície fechada \mathcal{S}, também cúbica e de aresta L(L>a), concêntrica ao cubo original e com faces paralelas ao mesmo.
  • Situação 2: um fio fino, retilíneo e finito de comprimento L uniformemente carregado com uma carga total Q e uma superfície fechada \mathcal{S} na forma de um cilindro circular reto de raio R e comprimento L. O cilindro é posicionado de forma que seu eixo coincida com o eixo do fio e os centros de suas tampas toquem as extremidades do fio.
  • Situação 3: uma esfera isolante de raio r uniformemente carregada com uma carga total Q e uma superfície fechada \mathcal{S}, também esférica de raio R (R>r), concêntrica à esfera isolante.
Agora responda separadamente para cada uma das situações:
o campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S} ? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada situação.
  • Situação 1:
    • Dado: um cubo isolante de aresta a uniformemente carregado com carga total Q.
    • Dado: uma superfície fechada \mathcal{S} que é um cubo de aresta L com L>a, concêntrica ao cubo carregado e com faces paralelas.
    • Pergunta: o módulo do campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S}? Justificar.
  • Situação 2:
    • Dado: um fio fino retilíneo finito de comprimento L, carregado uniformemente com carga total Q.
    • Dado: uma superfície fechada \mathcal{S} que é um cilindro de raio R e comprimento L, cujo eixo coincide com o do fio e as tampas do cilindro tocam as extremidades do fio.
    • Pergunta: o módulo do campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S}? Justificar.
  • Situação 3:
    • Dado: uma esfera isolante de raio r uniformemente carregada com carga total Q.
    • Dado: uma superfície fechada \mathcal{S} que é uma esfera concêntrica de raio R com R>r.
    • Pergunta: o módulo do campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S}? Justificar.

Passo 2

Ferramentas e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo).
  1. Lei de Gauss (em forma integral). Essa lei relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total encerrada por ela:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície, d\mathbf{A} é o vetor área elemento (módulo igual à área do elemento e direção normal à superfície apontando para fora), Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a constante elétrica do vácuo.
  • A lei dá apenas o fluxo total; não diz por si só que \mathbf{E} é uniforme sobre \mathcal{S}. Para extrair valores locais de \mathbf{E} a partir da lei, normalmente é necessário que a simetria do problema permita afirmar que \mathbf{E} tem direção e módulo constantes em regiões da superfície.
  1. Simetria e constância do campo:
  • Se a distribuição de carga e a superfície \mathcal{S} têm simetria tal que todos os pontos da superfície são equivalentes por operações de simetria (rotações, reflexões) que deixam a distribuição de carga inalterada, então o campo elétrico tem mesma intensidade nesses pontos equivalentes.
  • Exemplos clássicos:
    • Distribuição com simetria esférica (toda rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada): sobre qualquer esfera concêntrica o campo tem direção radial e módulo constante; pode usar Gauss para obter E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi\varepsilon_0 r^2},onde r é o raio da esfera Gaussian a > (ou \ge conforme o caso) da distribuição.
    • Distribuição com simetria cilíndrica infinita: sobre um cilindro coaxial o campo tem módulo que depende só da distância radial e é independe da posição angular e axial (para fio infinito).
  • Se a superfície \mathcal{S} contém pontos que não são todos equivalentes por simetria da distribuição de carga, então nada garante que o módulo do campo seja o mesmo nesses pontos.
  1. Direção do campo por simetrias locais:
  • Planos de simetria e eixos de rotação podem garantir que certas componentes do campo sejam zero em pontos específicos (por exemplo, pelo plano de simetria, componentes tangenciais podem anular), o que ajuda a concluir se o campo é puramente normal à superfície nesses pontos. Mas anular uma componente não afirma uniformidade do módulo em toda a superfície.
Agora aplico esses conceitos a cada situação concreta.

Passo 3

  1. Observações de simetria: o cubo carregado e a superfície \mathcal{S} (o cubo maior) têm o mesmo centro e faces paralelas; portanto a configuração inteira possui o grupo de simetria do cubo (rotações de 90º ao redor dos eixos que passam pelo centro, reflexões, etc.). Isso implica que pontos que pertencem à mesma “órbita” do grupo de simetria são equivalentes — por exemplo, todos os centros das faces são equivalentes entre si; todos os centros das arestas são equivalentes entre si; todos os cantos (vértices) são equivalentes entre si.
  2. Consequências:
  • Pelo item anterior, o campo elétrico terá o mesmo módulo em pontos que sejam transformáveis entre si por uma simetria do cubo (por exemplo, todos os centros de face terão o mesmo campo em módulo e direção relativa à face).
  • Porém, centros de face, pontos de aresta e vértices pertencem a órbitas diferentes do grupo de simetria (não há operação de simetria do cubo que leve, por exemplo, o centro de uma face ao centro de uma aresta). Logo não há razão para que o campo elétrico tenha o mesmo módulo em um centro de face e em um centro de aresta ou em um vértice da superfície \mathcal{S}.
  1. Aplicando a Lei de Gauss:
  • A lei de Gauss fornece o fluxo total através de \mathcal{S}: \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Pela simetria do cubo, o fluxo total é distribuído igualmente entre as seis faces (cada face recebe o mesmo fluxo), então o fluxo por face é Q/(6\varepsilon_0). Isso não implica que o campo seja uniforme em cada face: apenas o fluxo integral por face é igual entre faces. Dentro de uma face, \mathbf{E} pode variar de ponto a ponto, mantendo o mesmo total de fluxo.
  1. Conclusão para Situação 1:
  • Não é verdade que o campo elétrico tenha a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S}. Pontos de tipos diferentes (centro de face, ponto de aresta, vértice) não são equivalentes por simetria, portanto o módulo de \mathbf{E} não precisa ser o mesmo nesses pontos. A única igualdade segura é entre pontos do mesmo tipo de órbita (por exemplo, todos os centros das faces têm o mesmo campo), mas não entre todos os pontos da superfície.

Passo 4

  1. Observações de simetria:
  • A configuração tem simetria de rotação em torno do eixo do fio: girar em torno do eixo não altera a posição do fio nem do cilindro. Isso garante que, para um dado valor do eixo axial z, todos os pontos do cilindro com mesmo z e mesmo raio R tenham o mesmo módulo do campo e mesma orientação relativa (isto é, o campo não depende do ângulo azimutal).
  • No entanto, o fio é finito: não há simetria de translação ao longo do eixo nem simetria de reflexão que transforme um ponto com coordenada axial z_1 em outro z_2 arbitrário (a menos que z_1 e z_2 sejam relacionados por uma simetria específica, como as duas tampas simétricas se o fio fosse centralizado e considerarmos reflexões em relação ao plano médio). Em geral, o campo varia ao longo do eixo.
  1. Componentes do campo no casco lateral do cilindro:
  • Pelo argumento de rotação, a componente tangencial (azimutal) do campo é zero.
  • Não existe razão geral para que a componente axial do campo sobre a superfície lateral seja zero: para um ponto perto do centro axial do cilindro (plano médio) a contribuição dos dois lados pode cancelar parcialmente a componente axial, mas próximo das extremidades a contribuição axial dos elementos de carga é assimétrica e gera componente axial não nula. Assim o campo no casco lateral geralmente tem componentes radial e axial; o módulo varia com a coordenada axial z.
  1. Aplicando Gauss:
  • A lei de Gauss novamente dá apenas o fluxo total \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = Q/\varepsilon_0. Mas esse único número não garante uniformidade do campo sobre o cilindro fechado. Para o fio infinito ideal a simetria cilíndrica absoluta (independência de z) permitiria afirmar que E é constante no casco lateral, mas aqui o fio é finito, então essa condição não vale.
  1. Conclusão para Situação 2:
  • O campo elétrico não tem, em geral, a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S}. Há invariância azimutal (mesmo E para um dado z ao redor do cilindro), mas E varia com a coordenada axial z, portanto não é uniforme sobre toda a superfície fechada. Em palavras: simetria de rotação → uniformidade em torno da circunferência para cada z; falta de simetria axial → variação de E ao longo do comprimento do cilindro.

Passo 5

  1. Simetria:
  • A distribuição de carga é esfericamente simétrica (carga uniformemente distribuída numa esfera centrada). Toda rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada. Portanto, qualquer superfície esférica concêntrica é formada por pontos todos equivalentes por simetria.
  1. Aplicando Gauss com uma superfície esférica de raio R (com R>r, ou seja, fora da esfera de carga):
  • Tomando a superfície gaussiana como a própria esfera de raio R, pela simetria \mathbf{E} tem direção radial e módulo que depende só de R. Assim o integrando \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é E(R)\,dA com E(R) constante sobre a superfície. A lei de Gauss dá: E(R)\cdot 4\pi R^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Portanto E(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}.
  • Aqui E(R) é o módulo do campo em qualquer ponto da superfície esférica de raio R.
  1. Interpretação física:
  • Para uma esfera de carga uniforme (ou mesmo para carga total Q concentrada no centro), o campo fora da esfera é idêntico ao de uma carga pontual Q no centro. Isso é consequência direta da simetria esférica e da lei de Gauss.
  1. Conclusão para Situação 3:
  • Sim: o campo elétrico tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície \mathcal{S}, e o valor é E(R)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}.

Resposta

Situação 1: Não.
Situação 2: Não.
Situação 3: Sim.

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