Considere as três situações descritas abaixo:
- Situação 1: um cubo isolante de aresta
uniformemente carregado em todo o seu volume com uma carga total
e uma superfície fechada
, também cúbica e de aresta
, concêntrica ao cubo original e com faces paralelas ao mesmo.
- Situação 2: um fio fino, retilíneo e finito de comprimento
uniformemente carregado com uma carga total
e uma superfície fechada
na forma de um cilindro circular reto de raio
e comprimento
. O cilindro é posicionado de forma que seu eixo coincida com o eixo do fio e os centros de suas tampas toquem as extremidades do fio.
- Situação 3: uma esfera isolante de raio
uniformemente carregada com uma carga total
e uma superfície fechada
, também esférica de raio
, concêntrica à esfera isolante.
Agora responda separadamente para cada uma das situações:
o campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
? Justifique.
o campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada situação.
-
Situação 1:
- Dado: um cubo isolante de aresta
uniformemente carregado com carga total . - Dado: uma superfície fechada
que é um cubo de aresta com , concêntrica ao cubo carregado e com faces paralelas. - Pergunta: o módulo do campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
? Justificar.
- Dado: um cubo isolante de aresta
-
Situação 2:
- Dado: um fio fino retilíneo finito de comprimento
, carregado uniformemente com carga total . - Dado: uma superfície fechada
que é um cilindro de raio e comprimento , cujo eixo coincide com o do fio e as tampas do cilindro tocam as extremidades do fio. - Pergunta: o módulo do campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
? Justificar.
- Dado: um fio fino retilíneo finito de comprimento
-
Situação 3:
- Dado: uma esfera isolante de raio
uniformemente carregada com carga total . - Dado: uma superfície fechada
que é uma esfera concêntrica de raio com . - Pergunta: o módulo do campo elétrico produzido pela distribuição de carga tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
? Justificar.
- Dado: uma esfera isolante de raio
Passo 2
Ferramentas e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo).
- Lei de Gauss (em forma integral). Essa lei relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total encerrada por ela:
- Aqui
é o campo elétrico no ponto da superfície, é o vetor área elemento (módulo igual à área do elemento e direção normal à superfície apontando para fora), é a carga total dentro da superfície e é a constante elétrica do vácuo. - A lei dá apenas o fluxo total; não diz por si só que
é uniforme sobre . Para extrair valores locais de a partir da lei, normalmente é necessário que a simetria do problema permita afirmar que tem direção e módulo constantes em regiões da superfície.
- Simetria e constância do campo:
- Se a distribuição de carga e a superfície
têm simetria tal que todos os pontos da superfície são equivalentes por operações de simetria (rotações, reflexões) que deixam a distribuição de carga inalterada, então o campo elétrico tem mesma intensidade nesses pontos equivalentes. - Exemplos clássicos:
- Distribuição com simetria esférica (toda rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada): sobre qualquer esfera concêntrica o campo tem direção radial e módulo constante; pode usar Gauss para obter
onde é o raio da esfera Gaussian a (ou conforme o caso) da distribuição. - Distribuição com simetria cilíndrica infinita: sobre um cilindro coaxial o campo tem módulo que depende só da distância radial e é independe da posição angular e axial (para fio infinito).
- Distribuição com simetria esférica (toda rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada): sobre qualquer esfera concêntrica o campo tem direção radial e módulo constante; pode usar Gauss para obter
- Se a superfície
contém pontos que não são todos equivalentes por simetria da distribuição de carga, então nada garante que o módulo do campo seja o mesmo nesses pontos.
- Direção do campo por simetrias locais:
- Planos de simetria e eixos de rotação podem garantir que certas componentes do campo sejam zero em pontos específicos (por exemplo, pelo plano de simetria, componentes tangenciais podem anular), o que ajuda a concluir se o campo é puramente normal à superfície nesses pontos. Mas anular uma componente não afirma uniformidade do módulo em toda a superfície.
Agora aplico esses conceitos a cada situação concreta.
Passo 3
-
Observações de simetria: o cubo carregado e a superfície
(o cubo maior) têm o mesmo centro e faces paralelas; portanto a configuração inteira possui o grupo de simetria do cubo (rotações de 90º ao redor dos eixos que passam pelo centro, reflexões, etc.). Isso implica que pontos que pertencem à mesma “órbita” do grupo de simetria são equivalentes — por exemplo, todos os centros das faces são equivalentes entre si; todos os centros das arestas são equivalentes entre si; todos os cantos (vértices) são equivalentes entre si. -
Consequências:
- Pelo item anterior, o campo elétrico terá o mesmo módulo em pontos que sejam transformáveis entre si por uma simetria do cubo (por exemplo, todos os centros de face terão o mesmo campo em módulo e direção relativa à face).
- Porém, centros de face, pontos de aresta e vértices pertencem a órbitas diferentes do grupo de simetria (não há operação de simetria do cubo que leve, por exemplo, o centro de uma face ao centro de uma aresta). Logo não há razão para que o campo elétrico tenha o mesmo módulo em um centro de face e em um centro de aresta ou em um vértice da superfície
.
- Aplicando a Lei de Gauss:
- A lei de Gauss fornece o fluxo total através de
: - Pela simetria do cubo, o fluxo total é distribuído igualmente entre as seis faces (cada face recebe o mesmo fluxo), então o fluxo por face é
. Isso não implica que o campo seja uniforme em cada face: apenas o fluxo integral por face é igual entre faces. Dentro de uma face, pode variar de ponto a ponto, mantendo o mesmo total de fluxo.
- Conclusão para Situação 1:
- Não é verdade que o campo elétrico tenha a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
. Pontos de tipos diferentes (centro de face, ponto de aresta, vértice) não são equivalentes por simetria, portanto o módulo de não precisa ser o mesmo nesses pontos. A única igualdade segura é entre pontos do mesmo tipo de órbita (por exemplo, todos os centros das faces têm o mesmo campo), mas não entre todos os pontos da superfície.
Passo 4
- Observações de simetria:
- A configuração tem simetria de rotação em torno do eixo do fio: girar em torno do eixo não altera a posição do fio nem do cilindro. Isso garante que, para um dado valor do eixo axial
, todos os pontos do cilindro com mesmo e mesmo raio tenham o mesmo módulo do campo e mesma orientação relativa (isto é, o campo não depende do ângulo azimutal). - No entanto, o fio é finito: não há simetria de translação ao longo do eixo nem simetria de reflexão que transforme um ponto com coordenada axial
em outro arbitrário (a menos que e sejam relacionados por uma simetria específica, como as duas tampas simétricas se o fio fosse centralizado e considerarmos reflexões em relação ao plano médio). Em geral, o campo varia ao longo do eixo.
- Componentes do campo no casco lateral do cilindro:
- Pelo argumento de rotação, a componente tangencial (azimutal) do campo é zero.
- Não existe razão geral para que a componente axial do campo sobre a superfície lateral seja zero: para um ponto perto do centro axial do cilindro (plano médio) a contribuição dos dois lados pode cancelar parcialmente a componente axial, mas próximo das extremidades a contribuição axial dos elementos de carga é assimétrica e gera componente axial não nula. Assim o campo no casco lateral geralmente tem componentes radial e axial; o módulo varia com a coordenada axial
.
- Aplicando Gauss:
- A lei de Gauss novamente dá apenas o fluxo total
. Mas esse único número não garante uniformidade do campo sobre o cilindro fechado. Para o fio infinito ideal a simetria cilíndrica absoluta (independência de ) permitiria afirmar que é constante no casco lateral, mas aqui o fio é finito, então essa condição não vale.
- Conclusão para Situação 2:
- O campo elétrico não tem, em geral, a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
. Há invariância azimutal (mesmo para um dado ao redor do cilindro), mas varia com a coordenada axial , portanto não é uniforme sobre toda a superfície fechada. Em palavras: simetria de rotação → uniformidade em torno da circunferência para cada ; falta de simetria axial → variação de ao longo do comprimento do cilindro.
Passo 5
- Simetria:
- A distribuição de carga é esfericamente simétrica (carga uniformemente distribuída numa esfera centrada). Toda rotação em torno do centro deixa a distribuição inalterada. Portanto, qualquer superfície esférica concêntrica é formada por pontos todos equivalentes por simetria.
- Aplicando Gauss com uma superfície esférica de raio
(com , ou seja, fora da esfera de carga):
- Tomando a superfície gaussiana como a própria esfera de raio
, pela simetria tem direção radial e módulo que depende só de . Assim o integrando é com constante sobre a superfície. A lei de Gauss dá: - Portanto
- Aqui
é o módulo do campo em qualquer ponto da superfície esférica de raio .
- Interpretação física:
- Para uma esfera de carga uniforme (ou mesmo para carga total
concentrada no centro), o campo fora da esfera é idêntico ao de uma carga pontual no centro. Isso é consequência direta da simetria esférica e da lei de Gauss.
- Conclusão para Situação 3:
- Sim: o campo elétrico tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície
, e o valor é .
Resposta
Situação 1: Não.
Situação 2: Não.
Situação 3: Sim.
Situação 2: Não.
Situação 3: Sim.