Uma distribuição esfericamente simétrica tem densidade volumétrica de carga \rho(r)=A r e^{-r / r_{0}}(0 \leq r<\infty), onde A e r_{0} são constantes positivas e r é a distância à origem.
(a) Determine a dimensão da constante A.
(b) Faça um esboço da densidade volumétrica de carga \rho(r) como função de r.
(c) Qual a carga total da distribuição?
(d) Utilize apropriadamente a lei de Gauss para obter o campo eletrostático criado por essa distribuição num ponto qualquer do espaço. Apresente todos os passos do seu cálculo e indique claramente todas as hipóteses que você realizou.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição esfericamente simétrica com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=A\,r\,e^{-r/r_{0}}\qquad(0\le r<\infty),
onde A e r_{0} são constantes positivas e r é a distância à origem. As perguntas são:
(a) determinar a dimensão (unidade) da constante A;
(b) fazer um esboço qualitativo de \rho(r) em função de r;
(c) calcular a carga total da distribuição;
(d) usar a lei de Gauss para obter o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço, apresentando todos os passos e hipóteses.
Todas as informações relevantes do enunciado já estão listadas acima: a forma funcional de \rho(r), que a distribuição é esfericamente simétrica e que A,r_0>0.
Passo 2
(a) Determinar a dimensão de A.
Explicação das unidades:
A densidade volumétrica de carga \rho tem unidades de carga por volume, ou seja, em SI é coulomb por metro cúbico: \,[\rho]=\mathrm{C\cdot m^{-3}}\,.
Na expressão \rho(r)=A\,r\,e^{-r/r_{0}} a exponencial e^{-r/r_{0}} é adimensional (sempre), e r tem unidade de comprimento: [r]=\mathrm{m}.
Portanto, para que o produto A\,r tenha unidades de \rho é necessário
Segundo a derivada segunda (ou observando mudança de sinal), este ponto é um máximo. O valor máximo é
\rho_{\max}=\rho(r_0)=A r_0 e^{-1}.
Comportamento para r\to\infty: o fator e^{-r/r_0} domina e faz \rho(r)\to 0. Para grandes r, \rho(r) decai exponencialmente (multiplicado por r).
Resumo do esboço (descrição para desenhar): comece em \rho(0)=0, a curva sobe até um pico em r=r_0 com \rho=A r_0 e^{-1}, depois decai para zero de forma exponencial. A curva é suave e não negativa para r\ge0.
Passo 4
(c) Carga total Q_{\text{total}}.
Para uma distribuição esférica, a carga total é a integral de \rho sobre todo o espaço:
Q_{\text{total}}=4\pi A\cdot 6 r_0^{4}=24\pi A r_0^{4}.
Verificação rápida (consistência de dimensões): [A r_0^4]=(\mathrm{C\;m^{-4}})(\mathrm{m^4})=\mathrm{C}, multiplicado por número adimensional 24\pi dá carga em coulombs. OK.
Passo 5
(d) Campo elétrico \mathbf{E}(\mathbf{r}) usando a lei de Gauss — hipóteses e passos.
Hipóteses:
A distribuição é eletrostática (cargas fixas, tempo independente).
A densidade é esfericamente simétrica (dependência apenas de r), então o campo elétrico resultante também será radial e depende somente de r: \mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\,\hat{r}.
O espaço é o vácuo com permissividade \varepsilon_{0}.
Uso da forma integral da lei de Gauss para o campo elétrico.
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no interior da superfície fechada S.
Escolha de superfície de Gauss: esfera de raio r centrada na origem. Por simetria \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre a superfície; o fluxo é então
Limite r\to\infty: e^{-r/r_0}\to 0 e o colchete tende a 6. Então
E(r)\xrightarrow{r\to\infty}\frac{A r_0^{4}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{6}{r^{2}}=\frac{24\pi A r_0^{4}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} =\frac{Q_{\text{total}}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}},
isto é, comportamento de uma carga total Q_{\text{total}} concentrada na origem, como esperado (ver parte (c)).
Limite r\to 0: fazer aproximação por potência. Para pequenos r a carga contida até r vale aproximadamente
Q_{\text{enc}}(r)\approx 4\pi A\int_{0}^{r} {r'}^{3}\,dr'=\pi A r^{4},
portanto
E(r)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\pi A r^{4}}{r^{2}}=\frac{A}{4\varepsilon_{0}}\,r^{2}\xrightarrow{r\to 0}0,
ou seja, o campo tende a zero como r^{2} no centro — também consistente com comportamento regular no centro.
Passo 6
Resumo das hipóteses usadas no cálculo do campo:
Distribuição estática e esfericamente simétrica (campo radial e função apenas de r).
Uso da lei de Gauss em sua forma integral válida para eletrostática no vácuo com permissividade \varepsilon_{0}.
Continuidade suficiente da densidade para os cálculos integrais feitos.
Resposta
(a) [A]=\mathrm{C\;m^{-4}} (coulomb por metro quarta).
(b) \rho(0)=0, \rho(r) cresce até um máximo em r=r_0 com \rho_{\max}=A r_0 e^{-1}, e depois decai exponencialmente para zero quando r\to\infty.
(c) Q_{\text{total}}=24\pi A r_{0}^{4}.
(d) \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{A r_0^{4}}{\varepsilon_{0}}\cdot\frac{6 - e^{-r/r_0}\!\left[(r/r_0)^{3}+3(r/r_0)^{2}+6(r/r_0)+6\right]}{r^{2}}\;\hat{r}.