Imagine um disco sólido, (digamos, uma moeda), de massa M, raio R, em pé verticalmente sobre uma mesa. Uma pequena massa m de tamanho desprezível está agora colada à borda no ponto mais baixo. Quando perturbado, o centavo balança para frente e para trás sem escorregar. Mostre que o período do Movimento Harmônico Simples é T=2 \pi \sqrt{\frac{3 M R}{2 m g}}
Dica: Encontre K , o torque restaurador por unidade de deslocamento angular. Quando \mathrm{m} \rightarrow 0 o que acontece com T. Explique em termos físicos.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o período do movimento oscilatório pequeno de um disco sólido (como uma moeda) que fica em pé sobre a mesa, com uma pequena massa colada na borda no ponto mais baixo. Dados fornecidos:
massa do disco: M,
raio do disco: R,
massa pequena colada na borda: m (tamanho desprezível, mas massa não nula),
o disco oscila para frente e para trás sem escorregar (rolamento sem deslizamento),
pequenas oscilações (aproximação de ângulo pequeno).
O objetivo é mostrar que o período é
T = 2\pi \sqrt{\frac{3 M R}{2 m g}}
e comentar o que acontece quando m \to 0.
Passo 2
Entendimento físico e definição de variáveis:
Para um corpo que rola sem escorregar sobre uma superfície plana, a rotação instantânea ocorre em torno do ponto de contato com a mesa (ponto de apoio instantâneo). Denotemos esse ponto de contato instantâneo por P.
Seja \theta o pequeno ângulo de deslocamento angular do disco medido a partir da posição vertical de equilíbrio (positivo no sentido de deslocamento).
Queremos achar o torque restaurador (momento de forças) devido à gravidade que tende a trazer \theta de volta a zero, por unidade de deslocamento angular (ou seja, linearizar o torque em função de \theta para pequenas oscilações).
Também precisamos do momento de inércia do disco (total) em torno do ponto de apoio instantâneo P. Esse momento de inércia aparecerá no lado esquerdo da equação de movimento rotacional.
Passo 3
Cálculo do torque restaurador devido à massa m:
A força de gravidade sobre a massa colada é \,m g apontando vertical para baixo.
Quando o disco é deslocado de um pequeno ângulo \theta, a massa fica com um braço de alavanca (perpendicular à direção de \vec{g}) aproximadamente igual a R\sin\theta. Portanto o módulo do torque em relação ao ponto de contato instantâneo P é
\tau(\theta)= - m g \, (R\sin\theta),
onde o sinal negativo indica que o torque é restaurador (tende a reduzir \theta).
Para pequenas oscilações usamos a aproximação \sin\theta \approx \theta. Assim o torque linearizado é
\tau(\theta)\approx - m g R\,\theta.
Conclusão: a constante de “torque por unidade de ângulo” (constante elástica rotacional) vale
k \equiv \left|\frac{d\tau}{d\theta}\right|_{\theta=0} = m g R.
(Comentário didático rápido: a razão pela qual aparece R\sin\theta é geométrica — a componente perpendicular da posição da massa em relação ao ponto de apoio é essa. Para pequenos \theta esse braço é linear em \theta.)
Passo 4
Momento de inércia do disco em torno do ponto de contato P:
Momento de inércia do disco em torno do seu centro O é
I_{O}=\tfrac{1}{2} M R^{2}.
Pelo teorema dos eixos paralelos (Steiner), o momento de inércia em torno do ponto P (distância R do centro) é
I_{P}=I_{O}+M R^{2}=\tfrac{1}{2}M R^{2}+M R^{2}=\tfrac{3}{2} M R^{2}.
Observação: a massa pequena m foi dita de tamanho desprezível; seu acréscimo ao momento de inércia é de ordem mR^{2}, mas como o enunciado pede a expressão com M dominando, usamos principalmente I_{P} do disco. (Se necessário, pode-se incluir mR^{2} em I para precisão, mas a expressão alvo presume m pequeno.)
Passo 5
Equação do movimento rotacional e obtenção da frequência angular:
A equação de movimento rotacional em torno do ponto de contato P é
I_{P}\,\ddot{\theta}=\tau(\theta).
Substituindo a forma linearizada do torque obtida no Passo 3 e I_{P} do Passo 4:
\tfrac{3}{2} M R^{2}\,\ddot{\theta} = - m g R\,\theta.
Isolando \ddot{\theta} obtemos a equação de MHS:
\ddot{\theta} + \omega^{2}\theta = 0, \qquad \text{com}\qquad \omega^{2}=\frac{m g R}{\tfrac{3}{2}M R^{2}}=\frac{2 m g}{3 M R}.
Passo 6
Período das pequenas oscilações:
A relação entre \omega e o período T é \,T=2\pi/\omega.
Substituindo \omega^{2} obtemos
T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^{2}}} =2\pi \sqrt{\frac{3 M R}{2 m g}}.
Passo 7
Interpretação física do limite \,m\to 0:
Na expressão encontrada, T\propto 1/\sqrt{m}. Portanto, quando m\to 0, o período T\to\infty.
Explicação física: sem a massa extra colada na borda, o disco é perfeitamente simétrico em torno do ponto de contato; pequenas inclinações não produzem um torque restaurador linear — a energia potencial varia só em ordem mais alta que \theta^{2} (ou seja, não há termo linear que gere força restauradora proporcional a \theta), então não existe um movimento harmônico oscilatório com pequena frequência finita. Colocar a pequena massa quebra a simetria e gera um torque restaurador linear em \theta, permitindo oscilações com período finito; se m é muito pequeno, a força restauradora é fraca e as oscilações ficam muito lentas (grande T).