Dois estudantes de engenharia, João, com uma massa de 90 kg , e Maria, com uma massa de 45 kg , estão a 30 m de distância um do outro. Suponha que existam desequilíbrios de carga de 0.01 \% nos corpos dos dois estudantes, com um deles positivo e o outro negativo. Determine a ordem de grandeza da força de atração eletrostática entre os dois estudantes substituindo-os por esferas de água com a mesma massa.
Dados:
\begin{aligned} \rho_{\text {água }} & \approx 1000 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}} \\\ M_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}} & =18 \frac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~mol}} \\\ N_{A} & =6.02 \times 10^{23} \frac{1}{\mathrm{~mol}} \\\ e & =1.60 \times 10^{-19} \mathrm{C} \end{aligned}á
Dica: Uma molécula de água tem 10 elétrons.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Massas dos estudantes:
    • João: m_J = 90\\ \mathrm{kg}.
    • Maria: m_M = 45\\ \mathrm{kg}.
  • Distância entre eles: r = 30\\ \mathrm{m}.
  • Há um desequilíbrio de carga de 0{,}01\% nos corpos dos dois estudantes, com sinais opostos (um positivo e o outro negativo). Em termos de fração, isso é f = 0{,}01\% = 1\times10^{-4}.
  • Devemos substituir cada estudante por uma esfera de água com mesma massa.
  • Dados fornecidos:
    • \rho_{\text{água}} \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á.
    • M_{\mathrm{H_2O}} = 18\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}018\\ \mathrm{kg/mol}.
    • N_A = 6{,}02\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
    • e = 1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    • Dica: uma molécula de água tem 10 elétrons.
  • O que é pedido: determinar a ordem de grandeza da força de atração eletrostática entre os dois estudantes (isto é, estimar F devido às cargas líquidas opostas), modelando-os como esferas de água.

Passo 2

Como vamos estimar as cargas líquidas, primeiro calculamos quantos elétrons existem em cada estudante assumindo que todo o corpo é água (mesma massa e composição). Para isso usamos a sequência: massa \to número de mols \to número de moléculas \to número de elétrons \to carga total de elétrons.
Explicação das fórmulas usadas:
  • Número de mols: n=\dfrac{m}{M_{\mathrm{H_2O}}}. Aqui m é a massa do estudante e M_{\mathrm{H_2O}}=0{,}018\\ \mathrm{kg/mol} é a massa molar da água.
  • Número de moléculas: N_{\text{moléculas}}=n\;N_Aé.
  • Número total de elétrons: N_e = N_{\text{moléculas}}\times 10é (porque cada molécula tem 10 elétrons).
  • Carga elétrica total associada a todos os elétrons (em módulo): Q_{\text{eletrons}} = N_e \, e.
  • Carga líquida (desequilíbrio) assumindo fração f: Q_{\text{líquida}} = f\, Q_{\text{eletrons}}í.
Calculemos para João ( m_J=90\\ \mathrm{kg}):
n_J = \frac{m_J}{M_{\mathrm{H_2O}}} = \frac{90}{0{,}018} = 5000\\ \mathrm{mol}.
N_{\text{moléculas},J} = n_J\,N_A = 5000\times 6{,}02\times10^{23} = 3{,}01\times10^{27}.é
N_{e,J} = 10\times N_{\text{moléculas},J} = 3{,}01\times10^{28}.é
Q_{\text{eletrons},J} = N_{e,J}\,e = 3{,}01\times10^{28}\times 1{,}60\times10^{-19} = 4{,}82\times10^{9}\\ \mathrm{C}.
Agora a carga líquida (com fração f=1\times10^{-4}):
Q_J = f\,Q_{\text{eletrons},J} = 1\times10^{-4}\times 4{,}82\times10^{9} = 4{,}82\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
Calculemos para Maria ( m_M=45\\ \mathrm{kg}). Como a massa é exatamente metade, muitos valores ficam na metade:
n_M = \frac{45}{0{,}018} = 2500\\ \mathrm{mol}.
N_{\text{moléculas},M} = 2500\times 6{,}02\times10^{23} = 1{,}505\times10^{27}.é
N_{e,M} = 10\times N_{\text{moléculas},M} = 1{,}505\times10^{28}.é
Q_{\text{eletrons},M} = N_{e,M}\,e = 1{,}505\times10^{28}\times 1{,}60\times10^{-19} = 2{,}41\times10^{9}\\ \mathrm{C}.
Q_M = f\,Q_{\text{eletrons},M} = 1\times10^{-4}\times 2{,}41\times10^{9} = 2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{C}.
Observação rápida: esses Q_J e Q_M são cargas líquidas estimadas em módulo; como o enunciado disse que os sinais são opostos, tomaremos Q_J = +4{,}82\times10^{5}\\ \mathrm{C} e Q_M = -2{,}41\times10^{5}\\ \mathrm{C} (ou vice‑versa). Para a força usamos os módulos.

Passo 3

Agora usamos a lei de Coulomb para calcular a força elétrica entre duas cargas puntiformes (ponto a ponto):
F = k\,\frac{|Q_J\,Q_M|}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} e r=30\\ \mathrm{m}.
Substituindo os valores:
|Q_J Q_M| = (4{,}82\times10^{5})\times(2{,}41\times10^{5}) = (4{,}82\times2{,}41)\times10^{10}.
Calculemos o produto numérico:
4{,}82\times2{,}41 \approx 11{,}62.
Logo
|Q_J Q_M| \approx 1{,}162\times10^{11}\\ \mathrm{C^{2}}.
Agora
F \approx 8{,}99\times10^{9}\times\frac{1{,}162\times10^{11}}{(30)^{2}}.
(30)^{2}=900.
F \approx 8{,}99\times10^{9}\times\frac{1{,}162\times10^{11}}{900} = 8{,}99\times10^{9}\times 1{,}29\times10^{8}
(explicando: 1{,}162\times10^{11}/900 \approx 1{,}291\times10^{8}).
F \approx (8{,}99\times1{,}291)\times10^{17}\\ \mathrm{N}.
8{,}99\times1{,}291 \approx 11{,}61.
F \approx 1{,}16\times10^{18}\\ \mathrm{N}.
Portanto a força de atração estimada é da ordem de 10^{18}\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Uma verificação de consistência: verifiquemos rapidamente se a aproximação de cargas pontuais é razoável comparando os raios das esferas de água com a separação.
Volume de uma esfera: V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Mas primeiro V=\dfrac{m}{\rho}.
  • João: V_J = \dfrac{90}{1000} = 0{,}09\\ \mathrm{m^{3}}. Assim r_J = \left(\frac{3V_J}{4\pi}\right)^{1/3} \approx 0{,}28\\ \mathrm{m}.
  • Maria: V_M = \dfrac{45}{1000} = 0{,}045\\ \mathrm{m^{3}}. Assim r_M \approx 0{,}22\\ \mathrm{m}.
Soma dos raios r_J+r_M \approx 0{,}50\\ \mathrm{m}, muito menor que r=30\\ \mathrm{m}. Logo tratá‑los como cargas pontuais para calcular a força é adequado.

Passo 5

Interpretação final e motivação: a força calculada é gigantesca (ordem 10^{18}\\ \mathrm{N}). Isso mostra que um desequilíbrio extremamente pequeno (apenas 0{,}01\% dos elétrons) em corpos com enorme número de elétrons produz cargas líquidas enormes; na prática esse desequilíbrio não ocorre porque cargas se neutralizam, descargas ocorrem, e corpos não mantêm cargas tão grandes sem fenômenos como faíscas ou ionização do ar.
Força numérica final calculada: veja abaixo.

Resposta

\displaystyle F \approx 1{,}16\times10^{18}\\ \mathrm{N}

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