Considere três trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 12 dias, enquanto o primeiro eo segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três juntos podem fazer o trabalho?
Resposta: square

Passo 1

Vamos entender o problema: Temos três trabalhadores que, trabalhando em pares, conseguem completar um trabalho em certos dias. Especificamente:
  • Trabalhador 2 e Trabalhador 3 juntos completam o trabalho em 10 dias.
  • Trabalhador 1 e Trabalhador 3 juntos completam o trabalho em 12 dias.
  • Trabalhador 1 e Trabalhador 2 juntos completam o trabalho em 15 dias.
O conteúdo envolvido aqui é de taxas de trabalho e sistemas de equações. Para resolver, vamos calcular a taxa individual de cada trabalhador e, assim, descobrir quanto tempo os três juntos demorariam para completar o trabalho.

Passo 2

Vamos definir as taxas de trabalho de cada trabalhador. Vamos chamar a taxa de trabalho de:
  • Trabalhador 1: $ A $ (trabalhos por dia)
  • Trabalhador 2: $ B $
  • Trabalhador 3: $ C $
Quando dois trabalhadores trabalham juntos, suas taxas se somam. Por exemplo, $ A + B $ é a taxa de Trabalhador 1 e 2 juntos.

Passo 3

Com base nas informações do problema, podemos escrever as seguintes equações:
  1. $ B + C = \frac{1}{10} $ (Trabalhador 2 e 3 juntos completam o trabalho em 10 dias)
  2. $ A + C = \frac{1}{12} $ (Trabalhador 1 e 3 juntos completam o trabalho em 12 dias)
  3. $ A + B = \frac{1}{15} $ (Trabalhador 1 e 2 juntos completam o trabalho em 15 dias)

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
B + C = 110 A + C = 112 A + B = 115
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 5

Subtraia a segunda equação da primeira:
(B + C) - (A + C) = 110 - 112
Simplificando:
B - A = 6 - 560 = 160 implies B = A + 160
Vamos chamar essa Equação de 4.

Passo 6

Subtraia a terceira equação da segunda:
(A + C) - (A + B) = 112 - 115
Simplificando:
C - B = 5 - 460 = 160 implies C = B + 160
Vamos chamar essa Equação de 5.

Passo 7

Agora, substitua $ B $ da Equação 4 na Equação 3:
B
Simplificando:
A + (A + 160) = 115
Subtraia $ \frac{1}{60} $ de ambos os lados:
2A + 160 = 115
Então:
160

Passo 8

Agora que temos $ A = \frac{1}{40} $, podemos encontrar $ B $ usando a Equação 4:
A = 140

Passo 9

Em seguida, use a Equação 5 para encontrar $ C $:
C

Passo 10

Agora, para encontrar a taxa quando os três trabalham juntos:
A + B + C = 140 + 124 + 7120
Primeiro, achamos um denominador comum, que é 120:
3120 + 5120 + 7120 = 15120 = 18
Isso significa que os três juntos completam $ \frac{1}{8} $ do trabalho por dia.

Resposta

8 dias

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