Considere três trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 12 dias, enquanto o primeiro eo segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três juntos podem fazer o trabalho?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos entender o problema: Temos três trabalhadores que, trabalhando em pares, conseguem completar um trabalho em certos dias. Especificamente:
- Trabalhador 2 e Trabalhador 3 juntos completam o trabalho em 10 dias.
- Trabalhador 1 e Trabalhador 3 juntos completam o trabalho em 12 dias.
- Trabalhador 1 e Trabalhador 2 juntos completam o trabalho em 15 dias.
O conteúdo envolvido aqui é de taxas de trabalho e sistemas de equações. Para resolver, vamos calcular a taxa individual de cada trabalhador e, assim, descobrir quanto tempo os três juntos demorariam para completar o trabalho.
Passo 2
Vamos definir as taxas de trabalho de cada trabalhador. Vamos chamar a taxa de trabalho de:
- Trabalhador 1: $ A $ (trabalhos por dia)
- Trabalhador 2: $ B $
- Trabalhador 3: $ C $
Quando dois trabalhadores trabalham juntos, suas taxas se somam. Por exemplo, $ A + B $ é a taxa de Trabalhador 1 e 2 juntos.
Passo 3
Com base nas informações do problema, podemos escrever as seguintes equações:
- $ B + C = \frac{1}{10} $ (Trabalhador 2 e 3 juntos completam o trabalho em 10 dias)
- $ A + C = \frac{1}{12} $ (Trabalhador 1 e 3 juntos completam o trabalho em 12 dias)
- $ A + B = \frac{1}{15} $ (Trabalhador 1 e 2 juntos completam o trabalho em 15 dias)
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 5
Subtraia a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação de 4.
Passo 6
Subtraia a terceira equação da segunda:
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação de 5.
Passo 7
Agora, substitua $ B $ da Equação 4 na Equação 3:
Simplificando:
Subtraia $ \frac{1}{60} $ de ambos os lados:
Então:
Passo 8
Agora que temos $ A = \frac{1}{40} $, podemos encontrar $ B $ usando a Equação 4:
Passo 9
Em seguida, use a Equação 5 para encontrar $ C $:
Passo 10
Agora, para encontrar a taxa quando os três trabalham juntos:
Primeiro, achamos um denominador comum, que é 120:
Isso significa que os três juntos completam $ \frac{1}{8} $ do trabalho por dia.