Mostre que o traço de um produto de operadores Hermitianos é real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados dois operadores Hermitianos A e B num espaço de Hilbert, o valor \mathrm{Tr}(AB) é sempre um número real. Vamos usar as definições de operador adjunto, Hermiticidade e as propriedades do traço de um operador.

Passo 2

Primeiro mostramos que, para qualquer operador X, vale
\bigl(\mathrm{Tr}(X)\bigr)^{*} \;=\;\mathrm{Tr}\bigl(X^{\dagger}\bigr).
De fato, em uma base ortonormal \{\lvert n\rangle\} temos
\mathrm{Tr}(X)=\sum_{n}\langle n|X|n\rangle \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\mathrm{Tr}(X)\bigr)^{*} =\sum_{n}\langle n|X|n\rangle^{*} =\sum_{n}\langle n|X^{\dagger}|n\rangle =\mathrm{Tr}\bigl(X^{\dagger}\bigr).

Passo 3

Agora escolhemos X=AB. Como A e B são Hermitianos, A^{\dagger}=A e B^{\dagger}=B. Então
\bigl(\mathrm{Tr}(AB)\bigr)^{*} =\mathrm{Tr}\bigl((AB)^{\dagger}\bigr) =\mathrm{Tr}\bigl(B^{\dagger}A^{\dagger}\bigr) =\mathrm{Tr}(BA).

Passo 4

Usamos a invariância cíclica do traço, que diz \mathrm{Tr}(BA)=\mathrm{Tr}(AB). Logo
\bigl(\mathrm{Tr}(AB)\bigr)^{*} =\mathrm{Tr}(AB).

Passo 5

Como um número igual ao seu conjugado é real, concluímos que \mathrm{Tr}(AB) é real.

Resposta

\mathrm{Tr}(AB)\in\mathbb{R}.

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