Mostre que o traço de um produto de operadores Hermitianos é real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dados dois operadores Hermitianos
e
num espaço de Hilbert, o valor
é sempre um número real. Vamos usar as definições de operador adjunto, Hermiticidade e as propriedades do traço de um operador.
Passo 2
Primeiro mostramos que, para qualquer operador
, vale
De fato, em uma base ortonormal
temos
Passo 3
Agora escolhemos
. Como
e
são Hermitianos,
e
. Então
Passo 4
Usamos a invariância cíclica do traço, que diz
. Logo
Passo 5
Como um número igual ao seu conjugado é real, concluímos que
é real.