Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
\vec{d}_{1}=-3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+2,0 \hat{k}
\begin{array}{r} \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \\\ \vec{d}_{3}=2,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+1,0 \hat{k} \end{array}
O que resulta de (b)
\vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2} \times \vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar triplo
\vec{d}_{1}\cdot\big(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\big).
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são os três vetores, em metros:
\vec{d}_{1} = -3,0\,\hat{i} + 3,0\,\hat{j} + 2,0\,\hat{k},
\vec{d}_{2} = -2,0\,\hat{i} - 4,0\,\hat{j} + 2,0\,\hat{k},
\vec{d}_{3} = 2,0\,\hat{i} + 3,0\,\hat{j} + 1,0\,\hat{k}.
A tarefa é devolver um número (escalar) — o valor de \vec{d}_{1}\cdot(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}). Nada mais foi pedido.

Passo 2

O que é esse produto escalar triplo e como vamos calcular? Vou explicar de forma bem prática.
  • O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{a} e \vec{b}; seus componentes podem ser obtidos com uma determinante 3×3 usando \hat{i},\hat{j},\hat{k}.
  • O produto escalar triplo \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é um escalar que pode ser calculado como o determinante da matriz 3×3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Em fórmula:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\[4pt] b_x & b_y & b_z\\[4pt] c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.
  • Unidade física: se os vetores estão em metros, o valor do produto escalar triplo tem unidade de metros cúbicos ( \mathrm{m}^3).
Vou usar essa fórmula determinantal — é o jeito mais direto e rápido para calcular na prova sem fazer produto vetorial completo antes.]

Passo 3

Escrevo a matriz com as componentes (usei os valores dados no enunciado):
\begin{vmatrix} -3,0 & 3,0 & 2,0\\[4pt] -2,0 & -4,0 & 2,0\\[4pt] 2,0 & 3,0 & 1,0 \end{vmatrix}.
Vou expandir essa determinante pela primeira linha (regra de Sarrus ou expansão por co-fatores): se a primeira linha é (a_{11},a_{12},a_{13}), então
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ \cdots & \cdots & \cdots\\\ \cdots & \cdots & \cdots \end{vmatrix} = a_{11}\,M_{11} - a_{12}\,M_{12} + a_{13}\,M_{13},
onde M_{1j} é o determinante menor 2×2 correspondente.]

Passo 4

Calculo o primeiro termo: a_{11} = -3,0 e o menor M_{11} é o determinante da submatriz que sobra ao eliminar linha 1 e coluna 1:
M_{11} = \begin{vmatrix} -4,0 & 2,0\\[4pt] 3,0 & 1,0 \end{vmatrix} = (-4,0)\cdot(1,0) - (2,0)\cdot(3,0).
Faço as contas passo a passo:
(-4,0)\cdot(1,0) = -4,0,
(2,0)\cdot(3,0) = 6,0,
logo
M_{11} = -4,0 - 6,0 = -10,0.
Portanto o primeiro termo da expansão é
a_{11}\,M_{11} = (-3,0)\cdot(-10,0) = 30,0.]

Passo 5

Calculo o segundo termo: a_{12} = 3,0 e o menor M_{12} (eliminando linha 1, coluna 2) é
M_{12} = \begin{vmatrix} -2,0 & 2,0\\[4pt] 2,0 & 1,0 \end{vmatrix} = (-2,0)\cdot(1,0) - (2,0)\cdot(2,0).
Novamente passo a passo:
(-2,0)\cdot(1,0) = -2,0,
(2,0)\cdot(2,0) = 4,0,
então
M_{12} = -2,0 - 4,0 = -6,0.
Na fórmula de expansão o termo aparece com sinal negativo:
- a_{12}\,M_{12} = - (3,0)\cdot(-6,0) = - ( -18,0 ) = 18,0.]

Passo 6

Calculo o terceiro termo: a_{13} = 2,0 e o menor M_{13} (eliminando linha 1, coluna 3) é
M_{13} = \begin{vmatrix} -2,0 & -4,0\\[4pt] 2,0 & 3,0 \end{vmatrix} = (-2,0)\cdot(3,0) - (-4,0)\cdot(2,0).
Passo a passo:
(-2,0)\cdot(3,0) = -6,0,
(-4,0)\cdot(2,0) = -8,0,
portanto
M_{13} = -6,0 - (-8,0) = -6,0 + 8,0 = 2,0.
O terceiro termo da expansão é
a_{13}\,M_{13} = (2,0)\cdot(2,0) = 4,0.]

Passo 7

Somando os três termos obtidos:
30,0 + 18,0 + 4,0 = 52,0.
Logo o valor do produto escalar triplo é 52,0. Como os vetores estavam em metros, a unidade resultante é \mathrm{m}^3. Um comentário físico-matemático útil: o valor positivo indica que \vec{d}_{1},\vec{d}_{2},\vec{d}_{3} são orientados de modo a formar um sistema dextrógiro (orientação à direita).

Resposta

52,0\\ \mathrm{m}^3

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