Uma onda se propagando ao longo de uma corda é descrita por
y(x, t)=0,00327 \operatorname{sen}(72,1 x-2,72 t)
na qual as constantes numéricas estão em unidades no SI.
(a) Qual a amplitude desta onda, em metros e mm?
(b) Quais são o comprimento de onda, o período e a frequência desta onda?
(c) Qual a velocidade desta onda?
(d) Qual é o deslocamento y em \mathrm{x}=22,5 \mathrm{~cm} e \mathrm{t}=18,9 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a onda ao longo da corda:
y(x,t)=0,00327\,\operatorname{sen}(72,1\,x-2,72\,t)
e pede quatro coisas:
(a) a amplitude em metros e em milímetros;
(b) o comprimento de onda, o período e a frequência;
(c) a velocidade da onda;
(d) o deslocamento y em x=22,5\\ \mathrm{cm} e t=18,9\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=0,00327\\ \mathrm{m},
o número de onda é k=72,1\\ \mathrm{rad/m} (coefiiciente de x dentro do seno) e a velocidade angular é \omega=2,72\\ \mathrm{rad/s} (coefiiciente de t dentro do seno). Também foi dado x=22,5\\ \mathrm{cm}=0,225\\ \mathrm{m} e t=18,9\\ \mathrm{s} para o item (d).

Passo 2

Entendendo o que cada símbolo significa (aula curta):
A forma geral de uma onda harmônica que se propaga é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento), em metros;
  • k é o número de onda, em \mathrm{rad/m}; ele está relacionado ao comprimento de onda \lambda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k};
  • \omega é a velocidade angular (frequência angular), em \mathrm{rad/s}; ela está relacionada ao período T por T=\dfrac{2\pi}{\omega} e à frequência f por f=\dfrac{\omega}{2\pi};
  • a velocidade de propagação da onda v pode ser obtida por v=\dfrac{\omega}{k} (equivalente a v=\lambda/T).
Vou usar essas fórmulas passo a passo com os números dados.

Passo 3

(a) Amplitude: pelo enunciado A=0,00327\\ \mathrm{m}. Converter para milímetros: 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}, então
A=0,00327\\ \mathrm{m}=0,00327\times 1000\\ \mathrm{mm}=3,27\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

(b) Comprimento de onda \lambda: usar \lambda=\dfrac{2\pi}{k}. Vou escrever a fórmula e depois substituir k=72,1\\ \mathrm{rad/m}:
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo,
\lambda=\frac{2\pi}{72,1}.
Agora calcular numericamente: 2\pi\approx 6,283185. Então
\lambda\approx\frac{6,283185}{72,1}\approx 0,0871\\ \mathrm{m}.
Converter para centímetros: 0,0871\\ \mathrm{m}=8,71\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

(b) (continuação) Período T e frequência f:
Usamos
T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
Com \omega=2,72\\ \mathrm{rad/s}:
T=\frac{2\pi}{2,72}\approx\frac{6,283185}{2,72}\approx 2,31\\ \mathrm{s}.
E
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2,72}{6,283185}\approx 0,433\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

(c) Velocidade de propagação v:
Usamos a relação
v=\frac{\omega}{k},
pois \omega e k já estão na forma \sin(kx-\omega t). Substituindo:
v=\frac{2,72}{72,1}\approx 0,0377\\ \mathrm{m/s}.
Converter para \mathrm{cm/s}: 0,0377\\ \mathrm{m/s}=3,77\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 7

(d) Deslocamento em x=22,5\\ \mathrm{cm}=0,225\\ \mathrm{m} e t=18,9\\ \mathrm{s}.
Primeiro calcule o argumento do seno:
\theta=kx-\omega t=72,1\cdot 0,225-2,72\cdot 18,9.
Calcule cada termo:
72,1\cdot 0,225=16,2225\\ \mathrm{rad},
2,72\cdot 18,9=51,408\\ \mathrm{rad}.
Logo
\theta=16,2225-51,408=-35,1855\\ \mathrm{rad}.

Passo 8

(d) Simplificando o seno usando periodicidade: a função seno tem período 2\pi. Vamos reduzir \theta por múltiplos de 2\pi:
2\pi\approx 6,283185,\quad 35,1855-5\cdot 2\pi=35,1855-5\cdot 6,283185=35,1855-31,4159=3,7696\\ \mathrm{rad}.
Como \theta=-35,1855, temos \sin(\theta)=-\sin(35,1855)=-\sin(31,4159+3,7696)=-\sin(3,7696).
E \sin(3,7696)=-\sin(3,7696-\pi)=-\sin(3,7696-3,141593)=-\sin(0,628007).
Portanto \sin(\theta)=-(-\sin(0,628007))=\sin(0,628007). Ou seja, numericamente
\sin(\theta)\approx\sin(0,628007)\approx 0,588.

Passo 9

(d) Agora o deslocamento:
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)=0,00327\cdot \sin(\theta).
Substituindo o valor aproximado do seno:
y\approx 0,00327\times 0,588\approx 0,00192\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros: 0,00192\\ \mathrm{m}=1,92\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) A=0,00327\\ \mathrm{m}=3,27\\ \mathrm{mm}
(b) \lambda\approx 0,0871\\ \mathrm{m}=8,71\\ \mathrm{cm}, T\approx 2,31\\ \mathrm{s}, f\approx 0,433\\ \mathrm{Hz}
(c) v\approx 0,0377\\ \mathrm{m/s}=3,77\\ \mathrm{cm/s}
(d) y\approx 0,00192\\ \mathrm{m}=1,92\\ \mathrm{mm}

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