Considere um triangulo equilátero de lado a, onde foram traçados três círculos de raio a / 2, com centros nos vértices desse triângulo. Calcule a área exterior aos círculos e interior ao triângulo equilátero.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo equilátero com lado . Em cada um dos três vértices desse triângulo, desenhamos círculos com raio . A tarefa é calcular a área que está dentro do triângulo, mas fora dos três círculos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular áreas de triângulos e círculos, além de entender como essas figuras se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo equilátero é:
Atriângulo = raiz34 a^2 â

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de um dos círculos. A fórmula da área de um círculo é:
Acírculo = pi r^2 í
Como o raio Acírculo = pi ( a2 )^2 = pi a^24 , substituindo na fórmula, temos:
í

Passo 4

Como temos três círculos, a área total dos círculos é:
Atrês círculos = 3 times pi a^24 = 3pi a^24 êí

Passo 5

No entanto, esses três círculos se sobrepõem dentro do triângulo. Para calcular a área que está apenas dentro do triângulo e fora dos círculos, precisamos considerar essa sobreposição.
Em cada vértice do triângulo, o círculo cobre uma parte do triângulo. Como o triângulo é equilátero, cada interseção dos círculos forma um setor circular de Asetor = 60360 times pi ( a2 )^2 = pi a^224 (já que Atriângulo menor = 12 ( a2 )^2 sin(60^circ) = a^2 raiz316 ).
A área de um setor circular de Asegmento = Asetor - Atriângulo menor = pi a^224 - a^2 raiz316 é:
Asegmentos totais = 3 ( pi a^224 - a^2 raiz316 ) = pi a^28 - 3a^2 raiz316
Dentro desse setor, há um triângulo menor com ângulo de . A área desse triângulo é:
â
Portanto, a área do segmento circular (parte do setor que está fora do triângulo menor) é:
â
Como há três desses segmentos, a área total dos segmentos é:

Passo 6

Agora, para encontrar a área que está dentro do triângulo e fora dos círculos, subtraímos a área dos três círculos da área do triângulo e adicionamos a área dos segmentos para corrigir a sobreposição:
Aexterior = Atriângulo - Atrês círculos + Asegmentos totais âêí
Substituindo os valores que calculamos:
Aexterior = raiz34 a^2 - 3pi a^24 + ( pi a^28 - 3a^2 raiz316 )
Simplificando:
Aexterior = raiz34 a^2 - 3pi a^24 + pi a^28 - 3a^2 raiz316
Aexterior = ( 4raiz316 - 3raiz316 ) a^2 + ( -6pi8 + pi8 ) a^2
Aexterior = raiz316 a^2 - 5pi8 a^2

Resposta

A área exterior aos círculos e interior ao triângulo equilátero é:
A = raiz316 a^2 - 5pi8 a^2

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