Considere um triangulo equilátero de lado
, onde foram traçados três círculos de raio
, com centros nos vértices desse triângulo. Calcule a área exterior aos círculos e interior ao triângulo equilátero.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo equilátero com lado
. Em cada um dos três vértices desse triângulo, desenhamos círculos com raio
. A tarefa é calcular a área que está dentro do triângulo, mas fora dos três círculos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular áreas de triângulos e círculos, além de entender como essas figuras se sobrepõem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do triângulo equilátero. A fórmula para a área de um triângulo equilátero é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de um dos círculos. A fórmula da área de um círculo é:
Como o raio
, substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Como temos três círculos, a área total dos círculos é:
Passo 5
No entanto, esses três círculos se sobrepõem dentro do triângulo. Para calcular a área que está apenas dentro do triângulo e fora dos círculos, precisamos considerar essa sobreposição.
Em cada vértice do triângulo, o círculo cobre uma parte do triângulo. Como o triângulo é equilátero, cada interseção dos círculos forma um setor circular de
(já que
).
A área de um setor circular de
é:
Dentro desse setor, há um triângulo menor com ângulo de
. A área desse triângulo é:
Portanto, a área do segmento circular (parte do setor que está fora do triângulo menor) é:
Como há três desses segmentos, a área total dos segmentos é:
Passo 6
Agora, para encontrar a área que está dentro do triângulo e fora dos círculos, subtraímos a área dos três círculos da área do triângulo e adicionamos a área dos segmentos para corrigir a sobreposição:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A área exterior aos círculos e interior ao triângulo equilátero é: