Seja dado um segmento de reta A B de medida 4 a e o ponto médio M do segmento A B. Constroem-se dois semicírculos com centros nos pontos médios dos segmentos A M e B M e raios iguais a a. Com centros, respectivamente, em A e B, raios iguais a 4 a, descrevem-se os arcos B C e A C. Calcule a área da figura assim construída.

Passo 1

O problema dá um segmento AB de comprimento 4a, com ponto médio M, e pede a área da figura fechada por dois semicírculos de raio a nos subsegmentos AM e MB e por dois arcos de circunferências de raio 4a, centrados em A e B, que se cruzam no ponto C. O conteúdo principal é geometria analítica e cálculo de áreas por integração de setores e segmentos circulares.

Passo 2

Vamos colocar A em (0,0) e B em (4a,0). Então M=(2a,0). O semicirc. sobre AM tem centro em N=(a,0) e equação y=√(a²−(x−a)²) para x∈[0,2a], e o sobre MB tem centro P=(3a,0) e y=√(a²−(x−3a)²) para x∈[2a,4a]. Os arcos BC e AC vêm das circunferências de raio 4a centradas em A e B. As duas se cruzam em C, que fica em x=2a, y=2a√3.
Para achar C, resolvemos x²+y²=16a² e (x−4a)²+y²=16a². Subtraindo, dá x=2a. Então y²=16a²−(2a)²=12a², logo y=2a√3. Assim o arco de A vai de B a C na parte de cima, e o de B de A a C.

Passo 3

A área pode ser escrita como ∫_0^{4a}[y_{top}(x)−y_{bot}(x)]dx, onde y_{top}(x)=min(√(16a²−x²),√(16a²−(x−4a)²)) e y_{bot}(x)=semicírculos. Com simetria nota-se que
Atop=2integral2a^4araiz16a^2-x^2,dx

Passo 4

Usando a primitiva integralraizR^2-x^2,dx=tfrac12(xraizR^2-x^2+R^2arcsin(x/R)), para R=4a, obtemos
integral2a^4araiz16a^2-x^2,dx=(tfrac8pi3-2raiz3)a^2

Passo 5

Então
Atop=2l((tfrac8pi3-2raiz3)a^2r)=l(tfrac16pi3-4raiz3r)a^2

Passo 6

A parte de baixo é a soma de dois semicírculos de raio a, total pi a^2. Subtraindo:
A=l(tfrac16pi3-4raiz3r)a^2-pi a^2=l(tfrac13pi3-4raiz3r)a^2

Resposta

A=l(tfrac13pi3-4raiz3r)a^2.

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