Seja dado um segmento de reta
de medida
e o ponto médio
do segmento
. Constroem-se dois semicírculos com centros nos pontos médios dos segmentos
e
e raios iguais a
. Com centros, respectivamente, em
e
, raios iguais a
, descrevem-se os
e
. Calcule a área da figura assim construída.
Passo 1
O problema dá um segmento AB de comprimento 4a, com ponto médio M, e pede a área da figura fechada por dois semicírculos de raio a nos subsegmentos AM e MB e por dois arcos de circunferências de raio 4a, centrados em A e B, que se cruzam no ponto C. O conteúdo principal é geometria analítica e cálculo de áreas por integração de setores e segmentos circulares.
Passo 2
Vamos colocar A em (0,0) e B em (4a,0). Então M=(2a,0). O semicirc. sobre AM tem centro em N=(a,0) e equação y=√(a²−(x−a)²) para x∈[0,2a], e o sobre MB tem centro P=(3a,0) e y=√(a²−(x−3a)²) para x∈[2a,4a]. Os arcos BC e AC vêm das circunferências de raio 4a centradas em A e B. As duas se cruzam em C, que fica em x=2a, y=2a√3.
Para achar C, resolvemos x²+y²=16a² e (x−4a)²+y²=16a². Subtraindo, dá x=2a. Então y²=16a²−(2a)²=12a², logo y=2a√3. Assim o arco de A vai de B a C na parte de cima, e o de B de A a C.
Para achar C, resolvemos x²+y²=16a² e (x−4a)²+y²=16a². Subtraindo, dá x=2a. Então y²=16a²−(2a)²=12a², logo y=2a√3. Assim o arco de A vai de B a C na parte de cima, e o de B de A a C.
Passo 3
A área pode ser escrita como ∫_0^{4a}[y_{top}(x)−y_{bot}(x)]dx, onde y_{top}(x)=min(√(16a²−x²),√(16a²−(x−4a)²)) e y_{bot}(x)=semicírculos. Com simetria nota-se que
Passo 4
Usando a primitiva
, para R=4a, obtemos
Passo 5
Então
Passo 6
A parte de baixo é a soma de dois semicírculos de raio a, total
. Subtraindo: