Derivar e Siuplificar
y=arc tg 2 x1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y=arctanl(2x1-x^2r). Vamos usar derivada de função composta, ou seja, a regra da cadeia, a derivada de arctan(u) e, para u(x)=2x1-x^2, a regra do quociente.

Passo 2

Como y=arctan(u(x)), pela regra da cadeia temos
y' = u'(x)1+l(u(x)r)^2
onde u(x)=tfrac2x1-x^2.

Passo 3

Calculando u'(x) por regra do quociente:
u'(x)=2(1-x^2)-2x(-2x)(1-x^2)^2= rac2-2x^2+4x^2(1-x^2)^2=2(1+x^2)(1-x^2)^2

Passo 4

Substituindo em y':
y' = 11+l(tfrac2x1-x^2r)^2cdot2(1+x^2)(1-x^2)^2
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por (1-x^2)^2, obtendo
y' = 2(1+x^2)(1-x^2)^2+4x^2
E notamos que (1-x^2)^2+4x^2=(1+x^2)^2.

Passo 5

Com isso chega-se à forma simplificada
y' = 2(1+x^2)(1+x^2)^2 = 21+x^2

Resposta

y'=tfrac21+x^2

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