Considere o triângulo no espaço de vértices A=(2,1,-2), B=(2,-2,5) e C=(3,1,0). O ponto M encontra-se no segmento BC e obedece BM=BC4. Calcule a área do triângulo ACM.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo no espaço com os vértices A=(2,1,-2), B=(2,-2,5) e C=(3,1,0). O ponto M está na reta entre B e C, e a posição de M é tal que o vetor BM é um quarto do vetor BC. Nosso objetivo é calcular a área do triângulo ACM. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como vetores no espaço tridimensional, cálculo de pontos no segmento de reta e a fórmula para a área de um triângulo usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto M. Sabemos que M está no segmento BC e que BM = 14 BC. Isso significa que M divide o segmento BC na proporção 1:3 (já que BM é 1/4 de BC, restando 3/4 para MC).
Para calcular as coordenadas de M, usamos a fórmula do ponto que divide um segmento em uma certa proporção. Se M divide BC na razão k:1, as coordenadas de M são dadas por:
M = ( k cdot Cx + Bxk + 1, k cdot Cy + Byk + 1, k cdot Cz + Bzk + 1 )
Aqui, k = 13 porque a razão é 1:3.
Substituindo os valores:
Mx = 13 cdot 3 + 213 + 1 = 1 + 243 = 343 = 94
My = 13 cdot 1 + (-2)43 = 13 - 243 = -5343 = -54
Mz = 13 cdot 0 + 543 = 0 + 543 = 543 = 154
Então, as coordenadas de M são M = ( 94, -54, 154 ).

Passo 3

Agora que temos as coordenadas de A, C e M, vamos calcular a área do triângulo ACM. Para isso, usamos a fórmula da área de um triângulo no espaço tridimensional que envolve o produto vetorial de dois vetores que formam o triângulo.
Primeiro, vamos encontrar os vetores AC e AM:
AC = C - A = (3-2, 1-1, 0-(-2)) = (1, 0, 2)
AM = M - A = ( 94-2, -54-1, 154-(-2) ) = ( 14, -94, 234 )
Agora, calculamos o produto vetorial AC times AM:
AC times AM = i & j & k 1 & 0 & 2 14 & -94 & 234
Isso resulta em:
i (0 cdot 234 - 2 cdot (-94)) - j (1 cdot 234 - 2 cdot 14) + k (1 cdot (-94) - 0 cdot 14)
Simplificando:
i (0 + 184) - j (234 - 24) + k (-94 - 0)
= i (184) - j (214) - k (94)
= (184, -214, -94)
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
| AC times AM | = raiz(184)^2 + (-214)^2 + (-94)^2 = raiz32416 + 44116 + 8116 = raiz84616 = raiz4238 = raiz4232raiz2
Simplificando raiz423, que é 3raiz47, temos:
3raiz472raiz2 = 3raiz472raiz2 cdot raiz2raiz2 = 3raiz944

Resposta

A área do triângulo ACM é 3raiz944 unidades quadradas.

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