Encontre a série de Fourier da função dada de periodo 2.
f(x)=-x, -1 <= x<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função dada com período 2:
f(x) = -x, -1 <= x < 1
A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como o período é 2, o intervalo é de -1 a 1. Isso significa que a frequência fundamental $ \omega $ é:
omega

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função sobre um período. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Substituindo $ T = 2 $ e $ f(x) = -x $:
a0
Vamos calcular essa integral:
a0 = 1T integral-1^1 f(x) , dx
Então:
T = 2

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para os termos de cosseno. A fórmula é:
an
Substituindo $ f(x) = -x $:
an = 11 integral-1^1 f(x) cos(npi x) , dx
Note que a função $ -x $ é uma função ímpar e $ \cos(n\pi x) $ é uma função par. O produto de uma função ímpar e par é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
f(x) = -x

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $ para os termos de seno. A fórmula é:
bn
Substituindo $ f(x) = -x $:
bn = 11 integral-1^1 f(x) sin(npi x) , dx
Como $ -x $ é ímpar e $ \sin(n\pi x) $ também é ímpar, o produto é par. Então, podemos simplificar a integral:
f(x) = -x
Vamos resolver essa integral por partes. Seja:
  • $ u = x $ bn = integral-1^1 (-x) sin(npi x) , dx $ du = dx $
  • $ dv = \sin(n\pi x) dx $ -x $ v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
sin(npi x)
Calculando a segunda integral:
bn = 2 integral0^1 (-x) sin(npi x) , dx = -2 integral0^1 x sin(npi x) , dx
Então:
u = x
Aplicando os limites:
Rightarrow
Mas $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
du = dx
Voltando ao cálculo de $ b_n $:
dv = sin(npi x) dx

Resposta

Então, a série de Fourier da função $ f(x) = -x $ com período 2 é:
f(x) = -x

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