Encontre a série de Fourier da função dada de periodo 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função dada com período 2:
A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como o período é 2, o intervalo é de
a
. Isso significa que a frequência fundamental $ \omega $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função sobre um período. A fórmula para $ a_0 $ é:
Substituindo $ T = 2 $ e $ f(x) = -x $:
Vamos calcular essa integral:
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para os termos de cosseno. A fórmula é:
Substituindo $ f(x) = -x $:
Note que a função $ -x $ é uma função ímpar e $ \cos(n\pi x) $ é uma função par. O produto de uma função ímpar e par é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $ para os termos de seno. A fórmula é:
Substituindo $ f(x) = -x $:
Como $ -x $ é ímpar e $ \sin(n\pi x) $ também é ímpar, o produto é par. Então, podemos simplificar a integral:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja:
- $ u = x $
$ du = dx $ - $ dv = \sin(n\pi x) dx $
$ v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Calculando a segunda integral:
Então:
Aplicando os limites:
Mas $ \cos(n\pi) = (-1)^n $, então:
Voltando ao cálculo de $ b_n $:
Resposta
Então, a série de Fourier da função $ f(x) = -x $ com período 2 é: