Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
(x-1) y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando séries de potências. A equação é:
(x - 1) y'' + y' = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e vamos usar séries de potências para encontrar a solução. Para isso, a gente vai precisar expressar a função $ y $ como uma série de potências e calcular suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em $ x = 0 $:
y
Isso significa que $ y $ é a soma de termos onde cada termo é um coeficiente $ a_n $ multiplicado por $ x^n $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y $ em relação a $ x $:
y
x
Note que ao derivar uma série de potências, a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $, e aplicamos isso para cada termo da série.

Passo 4

Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial dada:
y
Substituindo as séries:
y'

Passo 5

Vamos distribuir o $ (x - 1) $ na série de $ y’’ $:
(x - 1)
Simplificando os termos:
y''

Passo 6

Vamos reindexar as séries para que todas tenham $ x^k $ com o mesmo expoente. Vamos substituir $ k = n - 1 $ na primeira e terceira série e $ k = n - 2 $ na segunda série:
x^k

Passo 7

Agora, vamos combinar as séries semelhantes:
sumk=0^infty [ (k + 1) k ak+1 - (k + 2)(k + 1) ak+2 + (k + 1) ak+1 ] x^k = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, cada coeficiente de $ x^k $ deve ser igual a zero:
x

Passo 8

Vamos simplificar a equação acima dividindo por $ k + 1 $:
k + 1
k ak+1 - (k + 2) ak+2 + ak+1 = 0

Passo 9

Agora, podemos resolver para $ a_{k+2} $:
ak+2
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos permite encontrar cada coeficiente $ a_{k+2} $ em termos de $ a_{k+1} $.

Passo 10

Vamos iniciar a recorrência definindo os primeiros coeficientes. Geralmente, para equações de segunda ordem, temos dois termos livres $ a_0 $ e $ a_1 $:
  • Para $ k = 0 $:
a0
  • Para $ k = 1 $:
a1
E assim por diante.

Passo 11

Observando o padrão, podemos notar que todos os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 2 $ são múltiplos de $ a_1 $. Portanto, a solução geral será uma combinação de dois termos:
an

Resposta

A solução geral da equação diferencial (x - 1) y'' + y' = 0 usando séries de potências é:
y = a0 + a1 ( x + 12 x^2 + 13 x^3 + dots )
Onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados