Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando séries de potências. A equação é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e vamos usar séries de potências para encontrar a solução. Para isso, a gente vai precisar expressar a função $ y $ como uma série de potências e calcular suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em $ x = 0 $:
Isso significa que $ y $ é a soma de termos onde cada termo é um coeficiente $ a_n $ multiplicado por $ x^n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y $ em relação a $ x $:
Note que ao derivar uma série de potências, a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $, e aplicamos isso para cada termo da série.
Passo 4
Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial dada:
Substituindo as séries:
Passo 5
Vamos distribuir o $ (x - 1) $ na série de $ y’’ $:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos reindexar as séries para que todas tenham $ x^k $ com o mesmo expoente. Vamos substituir $ k = n - 1 $ na primeira e terceira série e $ k = n - 2 $ na segunda série:
Passo 7
Agora, vamos combinar as séries semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, cada coeficiente de $ x^k $ deve ser igual a zero:
Passo 8
Vamos simplificar a equação acima dividindo por $ k + 1 $:
Passo 9
Agora, podemos resolver para $ a_{k+2} $:
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos permite encontrar cada coeficiente $ a_{k+2} $ em termos de $ a_{k+1} $.
Passo 10
Vamos iniciar a recorrência definindo os primeiros coeficientes. Geralmente, para equações de segunda ordem, temos dois termos livres $ a_0 $ e $ a_1 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
E assim por diante.
Passo 11
Observando o padrão, podemos notar que todos os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 2 $ são múltiplos de $ a_1 $. Portanto, a solução geral será uma combinação de dois termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
usando séries de potências é:
Onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.