Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação $ y’ + \frac{3}{x} y = x^{2} \sin x $. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui, $ P(x) = \frac{3}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} \sin x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(x) $). Esse fator nos ajuda a simplificar a equação:
Substituindo $ P(x) $:
Então, nosso fator integrante é $ x^{3} $.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto $ x^{3} y $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante real qualquer.