Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime+3x y=x^2 sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para encontrar a solução geral da equação $ y’ + \frac{3}{x} y = x^{2} \sin x $. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = \frac{3}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} \sin x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(x) $). Esse fator nos ajuda a simplificar a equação:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, nosso fator integrante é $ x^{3} $.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
x^3 y' + x^3 cdot 3x y = x^3 cdot x^2 sin x
Simplificando:
x^3 y' + 3x^2 y = x^5 sin x
Observamos que o lado esquerdo é a derivada do produto $ x^{3} y $:
x^3 y

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso nos dá:
integral ddx(x^3 y) dx = integral x^5 sin x dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1x^3 ( integral x^5 sin x dx + C )
Onde $ C $ é uma constante real qualquer.

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