Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
y^prime prime-4 y^prime=6 e^3 t-3 e^-t, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 4 y' = 6 e^3 t - 3 e^- t
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $. O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace, que vamos usar para resolver essa equação. Para isso, precisamos aplicar as propriedades da Transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação resultante para encontrar $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
e
Ly' = s Y(s) - y(0)
Aplicando isso na equação diferencial:
Ly'' - 4 Ly' = L6 e^3 t - L3 e^- t

Passo 3

Vamos substituir as transformadas:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - (-1) - 4 [s Y(s) - 1] = 6s - 3 - 3s + 1
Simplificando os termos:
s^2 Y(s) - s + 1 - 4 s Y(s) + 4 = 6s - 3 - 3s + 1

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos que envolvem $ Y(s) $:
Y(s)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 - 4 s) Y(s) - s + 5 = 6s - 3 - 3s + 1

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para $ Y(s) $. Primeiro, colocamos tudo em um único denominador e simplificamos:
Y(s)
Isso pode ser um pouco complicado, então vamos decompor em frações parciais depois.

Passo 6

Após simplificar e decompor em frações parciais, encontramos:
Y(s) = As + Bs - 3 + Cs + 1
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $, obtemos os valores necessários para cada termo.

Passo 7

Finalmente, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo para encontrar $ y(t) $:
y(t)
Substituindo os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ que encontramos.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 1 + 2 e^3 t - e^- t

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