Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $. O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace, que vamos usar para resolver essa equação. Para isso, precisamos aplicar as propriedades da Transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação resultante para encontrar $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
e
Aplicando isso na equação diferencial:
Passo 3
Vamos substituir as transformadas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos que envolvem $ Y(s) $:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para $ Y(s) $. Primeiro, colocamos tudo em um único denominador e simplificamos:
Isso pode ser um pouco complicado, então vamos decompor em frações parciais depois.
Passo 6
Após simplificar e decompor em frações parciais, encontramos:
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $, obtemos os valores necessários para cada termo.
Passo 7
Finalmente, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo para encontrar $ y(t) $:
Substituindo os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ que encontramos.
Resposta
A solução da equação diferencial é: