Considere um triângulo retângulo (sólido) homogêneo com catetos a e b. (a) Encontre o momento de inércia com relação a um eixo que passe pelo cateto a. (b) Qual seria o resultado se o eixo passasse por b ? © Encontre o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano que contém o triângulo e que passe pelo vértice do angulo reto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um triângulo retângulo homogêneo, ou seja, com densidade uniforme, e os catetos medem a e b. A matéria aqui envolve o cálculo de momentos de inércia, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para resolver as três partes do exercício, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de figuras planas em relação a diferentes eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia ( I) em relação a um eixo é dado pela integral:
I = integral r^2 , dm
onde r é a distância de um elemento de massa ( dm) ao eixo de rotação. Para figuras planas com densidade uniforme, podemos expressar dm como sigma , dA, onde sigma é a densidade superficial (massa por unidade de área) e dA é um elemento de área.

Passo 3

Como o triângulo é homogêneo, a densidade superficial sigma é constante e pode ser calculada dividindo a massa total M pela área do triângulo:
sigma = M12ab = 2Mab

Passo 4

Vamos começar com a parte (a): encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo cateto a.
Para isso, escolhemos o cateto a como o eixo x, e o cateto b como o eixo y. O triângulo está no primeiro quadrante, com vértice no ponto (0,0).
A área do triângulo é 12ab. Vamos parametrizar o triângulo com x indo de 0 a a, e para cada x, y vai de 0 a ba(a - x), que é a equação da hipotenusa.

Passo 5

O momento de inércia em relação ao eixo a ( Ia) é:
Ia = integral y^2 , dm = sigma integral0^a integral0^ba(a - x) y^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^ba(a - x) y^2 , dy = [ y^33 ]0^ba(a - x) = 13 (ba(a - x))^3

Passo 7

Substituindo na expressão de Ia:
Ia = sigma integral0^a 13 (ba)^3 (a - x)^3 , dx = sigma b^33a^3 integral0^a (a - x)^3 , dx

Passo 8

Calculando a integral:
integral0^a (a - x)^3 , dx = [ (a - x)^4-4 ]0^a = a^44

Passo 9

Substituindo de volta:
Ia = sigma b^33a^3 cdot a^44 = sigma b^3 a12
Lembrando que sigma = 2Mab:
Ia = 2Mab cdot b^3 a12 = 2M b^212 = M b^26

Resposta

(a) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo cateto a é Ia = dfracM b^26.

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