Considere um triângulo retângulo (sólido) homogêneo com catetos
e
. (a) Encontre o momento de inércia com relação a um eixo que passe pelo cateto
. (b) Qual seria o resultado se o eixo passasse por
? © Encontre o momento de inércia com relação a um eixo perpendicular ao plano que contém o triângulo e que passe pelo vértice do angulo reto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um triângulo retângulo homogêneo, ou seja, com densidade uniforme, e os catetos medem
e
. A matéria aqui envolve o cálculo de momentos de inércia, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para resolver as três partes do exercício, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de figuras planas em relação a diferentes eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia (
) em relação a um eixo é dado pela integral:
onde
é a distância de um elemento de massa (
) ao eixo de rotação. Para figuras planas com densidade uniforme, podemos expressar
como
, onde
é a densidade superficial (massa por unidade de área) e
é um elemento de área.
Passo 3
Como o triângulo é homogêneo, a densidade superficial
é constante e pode ser calculada dividindo a massa total
pela área do triângulo:
Passo 4
Vamos começar com a parte (a): encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo cateto
.
Para isso, escolhemos o cateto
como o eixo
, e o cateto
como o eixo
. O triângulo está no primeiro quadrante, com vértice no ponto
.
A área do triângulo é
. Vamos parametrizar o triângulo com
indo de
a
, e para cada
,
vai de
a
, que é a equação da hipotenusa.
Passo 5
O momento de inércia em relação ao eixo
(
) é:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 7
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Calculando a integral:
Passo 9
Substituindo de volta:
Lembrando que
:
Resposta
(a) O momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo cateto
é
.