A interferência pode ocorrer para ondas com frequências diferentes. a) Mostre que a resultante de duas ondas cujas equações são:
Pode ser escrita como:
b) O que representa
?
c) Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
e) O que acontece quando
for próximo de
?
Pode ser escrita como:
b) O que representa
c) Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
e) O que acontece quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de interferência de ondas, que é um assunto de Física onde duas ou mais ondas se sobrepõem, gerando uma nova onda resultante. A gente vai precisar usar conceitos de soma de ondas e identidades trigonométricas para resolver as partes a), b), c) e e) do exercício.
Passo 2
Parte a): Queremos mostrar que a soma das duas ondas $ y_{1}(x, t) $ e $ y_{2}(x, t) $ pode ser escrita de uma forma específica usando identidade trigonométrica.
As equações das ondas são:
Para somar essas duas ondas, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso às nossas ondas:
Simplificando:
Podemos identificar:
E:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Parte b): O que representa $ \frac{\omega’}{k’} $?
Aqui, $ \frac{\omega’}{k’} $ é a velocidade de propagação da onda resultante $ y(x, t) $. Na física das ondas, a velocidade $ v $ é dada por:
Onde $ \omega $ é a frequência angular e $ k $ é o número de onda. Assim, $ \frac{\omega’}{k’} $ nos dá a velocidade com que a onda resultante está se movendo no espaço.
Passo 4
Parte c): Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
A onda resultante $ y(x, t) $ é composta por duas partes:
- Oscilação rápida: $ \sin(k’ x - \omega’ t) $ representa a oscilação principal da onda.
- Modulação lenta: $ \cos\left[\frac{1}{2}(\Delta k x - \Delta \omega t)\right] $ modula a amplitude da onda principal.
Isso significa que temos uma onda que se propaga com uma certa velocidade $ \frac{\omega’}{k’} $, enquanto sua amplitude varia de forma periódica devido à interferência das duas ondas originais. Esse tipo de onda é chamado de onda de batimento, onde percebemos um amarelamento na amplitude conforme os dois componentes interferem.
Passo 5
Parte e): O que acontece quando $ \omega_{1} $ for próximo de $ \omega_{2} $?
Quando $ \omega_{1} $ está próximo de $ \omega_{2} $, a diferença $ \Delta \omega = \omega_{1} - \omega_{2} $ é pequena. Isso significa que a modulação da amplitude ($ \cos\left[\frac{1}{2}(\Delta k x - \Delta \omega t)\right] $) ocorrerá com uma frequência muito baixa.
Praticamente, isso resulta em batimentos com uma frequência muito baixa, o que faz com que a amplitude da onda resultante varie lentamente ao longo do tempo e do espaço. Essa é a característica típica de batimentos quando duas ondas de frequências próximas interferem.
Resposta
a) Demonstramos que a soma das duas ondas resulta em:
b) $ \frac{\omega’}{k’} $ representa a velocidade de propagação da onda resultante.
c) O movimento da onda resultante é uma onda que se propaga com velocidade $ \frac{\omega’}{k’} $ e cuja amplitude varia periodicamente devido à interferência, formando uma onda de batimentos.
e) Quando $ \omega_{1} $ está próximo de $ \omega_{2} $, a onda resultante apresenta batimentos com frequência muito baixa, fazendo com que a amplitude varie lentamente ao longo do tempo e do espaço.