Considere o trîângulo de vértices A(2,1), B(5,2) e C(4,3). Determine a altura relativa a base A B e a área do triângulo \triangle A B C.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo \triangle ABC:
A(2,1),\qquad B(5,2),\qquad C(4,3).
Pede duas coisas:
  1. a altura relativa à base AB (ou seja, a distância do ponto C à reta que passa por A e B);
  2. a área do triângulo \triangle ABC.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o comprimento da base AB. Para isso usamos a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},
onde x_1,y_1,x_2,y_2 são as coordenadas dos pontos. Aplicando a A(2,1) e B(5,2):
\overrightarrow{AB}=(5-2,\,2-1)=(3,1).
Logo o comprimento de AB é
|AB|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.

Passo 3

Agora vamos achar a equação da reta que contém AB. Uma forma prática é obter um vetor normal \mathbf{n}=(a,b) a \overrightarrow{AB}. Se \overrightarrow{AB}=(3,1), um vetor normal é, por exemplo, \mathbf{n}=(1,-3), porque (3,1)\cdot(1,-3)=3-3=0. A equação da reta, em termos de a,b,c, é
ax+by+c=0,
onde (a,b)=\mathbf{n}. Usando o ponto A(2,1) para determinar c:
1\cdot(x-2)-3\cdot(y-1)=0.
Colocando em forma padrão:
x-3y+1=0.
Verificação rápida: para B(5,2) temos 5-3\cdot2+1=5-6+1=0, então a reta está correta.

Passo 4

Para calcular a altura (distância do ponto C(x_0,y_0) à reta ax+by+c=0) usamos a fórmula clássica:
\text{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Aqui a, b, c são os coeficientes da equação da reta e (x_0,y_0) são as coordenadas do ponto cuja distância queremos. A fórmula dá a distância perpendicular (menor distância) do ponto à reta.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: da reta temos a=1, b=-3, c=1. O ponto é C(4,3), ou seja x_0=4, y_0=3. Calculamos o numerador:
|a x_0 + b y_0 + c| = |1\cdot4 + (-3)\cdot3 + 1| = |4-9+1| = |-4| = 4.
O denominador é
\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Portanto a altura relativa à base AB é
h=\frac{4}{\sqrt{10}}.
Podemos racionalizar se preferir:
\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{10}}{10}=\frac{2\sqrt{10}}{5}.

Passo 6

Agora a área do triângulo. A fórmula básica é
\text{área}=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2}.á
Aqui a base é |AB|=\sqrt{10} (Passo 2) e a altura é h=\dfrac{4}{\sqrt{10}} (Passo 5). Logo
\text{área}=\frac{\sqrt{10}\cdot\frac{4}{\sqrt{10}}}{2}=\frac{4}{2}=2.á
(Fonte de verificação alternativa: a área também pode ser obtida por meio do módulo do produto vetorial 2D: \tfrac12| (B-A)\times(C-A)|, que dá o mesmo resultado.)

Resposta

Altura relativa a AB: \dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}
Área do \triangle ABC: 2

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