Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor \vec{u}=(2,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor \vec{u}=(2,-1,2).
Informações dadas:
  • O vetor fornecido é \vec{u}=(2,-1,2).
  • Precisamos de um vetor \vec{w} que satisfaça duas condições:
    1. Ser ortogonal a \vec{u}.
    2. Ser unitário (ou seja, ter norma igual a 1).

Passo 2

Relembrando a teoria básica (sem pressa, juntinho):
  • Produto escalar (ou dot product) em \mathbb{R}^3: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Condição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, \vec{a}\perp\vec{b} se \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
  • Norma (comprimento) de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3):
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
  • Para obter um vetor unitário a partir de um vetor não nulo \vec{v}, dividimos por sua norma:
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 3

Vamos construir um vetor simples que seja ortogonal a \vec{u}. Uma maneira prática é escolher componentes fáceis e impor a condição do produto escalar igual a zero.
Escolho o vetor candidato \vec{v}=(1,0,-1). Agora verifico a ortogonalidade calculando o produto escalar com \vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 1+(-1)\cdot 0+2\cdot(-1)=2+0-2=0.
Como o produto escalar deu 0, concluímos que \vec{v}=(1,0,-1) é ortogonal a \vec{u}.

Passo 4

Agora precisamos transformar \vec{v} num vetor unitário. Primeiro calculo a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.
Explicando rapidinho: somei os quadrados das componentes e tirei a raiz quadrada — é isso que mede o comprimento do vetor.

Passo 5

Normalizo \vec{v} dividindo por \|\vec{v}\|. Assim o vetor unitário colinear a \vec{v} (e, portanto, ortogonal a \vec{u}) é
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1).
Observação útil para a prova: se \hat{v} é unitário e ortogonal a \vec{u}, então também -\hat{v} é — ambos são respostas válidas. Aqui escolhi \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1).

Resposta

\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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