Verinque se sao colineares os pontos: A(1,-1), B(2,2) e C(3,5)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os pontos A(1,-1), B(2,2) e C(3,5) são colineares (ou seja, se todos estão sobre a mesma reta).\n
Informações dadas:\n
Coordenadas de A: A(1,-1).\n
Coordenadas de B: B(2,2).\n
Coordenadas de C: C(3,5).\n
Pergunta a responder: os três pontos são colineares? (responder “sim” ou “não” e justificar)
Passo 2
Escolha do método: existem várias formas de verificar colinearidade. As duas mais simples são:\n
Verificar se os declives (inclinações) entre dois pares de pontos são iguais.\n
Verificar se os vetores entre um ponto e os outros são múltiplos (dependência linear) ou calcular o determinante/área do triângulo formado e checar se é zero.\n
Vou usar o método dos declives porque é bem direto e comentei passo a passo como calcular (é o método mais básico e rápido aqui). Se houver divisão por zero (reta vertical) usaríamos o método dos vetores/determinante; nesse caso não teremos divisão por zero.
Passo 3
Relembrando a fórmula do declive (slope):\n
O declive da reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dado por\n
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m é o declive (número que indica quão inclinada é a reta), x_1,y_1,x_2,y_2 são as coordenadas dos dois pontos. Se dois segmentos (por exemplo AB e AC) têm o mesmo declive, então os três pontos estão na mesma reta (colineares), desde que as diferenças de x não sejam zero em um caso e zero no outro (tratamento de reta vertical).
Passo 4
Calcular o declive entre A e B:\n
Usando A(1,-1) e B(2,2), aplicamos a fórmula:
m_{AB}=\frac{2-(-1)}{2-1}.
Agora calculamos numerador e denominador separadamente: 2-(-1)=2+1=3 e 2-1=1. Logo
m_{AB}=\frac{3}{1}=3.
Passo 5
Calcular o declive entre A e C:\n
Usando A(1,-1) e C(3,5), aplicamos a fórmula:
m_{AC}=\frac{5-(-1)}{3-1}.
Calculemos: 5-(-1)=5+1=6 e 3-1=2. Portanto
m_{AC}=\frac{6}{2}=3.
Passo 6
Comparação dos declives e conclusão (método dos declives):\n
Encontramos m_{AB}=3 e m_{AC}=3. Como os declives são iguais, os pontos A, B e C estão sobre a mesma reta. Assim, são colineares.\n
Vou também mostrar rapidamente uma verificação alternativa (vetorial) só para consolidar a ideia: calculemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.\n
\overrightarrow{AB}=(2-1,\;2-(-1))=(1,\;3),
\overrightarrow{AC}=(3-1,\;5-(-1))=(2,\;6).
Note que \overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AB} (pois (2,6)=2\cdot(1,3)), ou seja, os vetores são colineares — reforçando que os pontos são colineares.
Resposta
Sim, os pontos A(1,-1), B(2,2) e C(3,5) são colineares.