Verifique se são coplanares os pontos:
A(1,2,1), B(0,2,-2), C(-1,0,3) e D(-2,-3,-3)

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço: A(1,2,1), B(0,2,-2), C(-1,0,3) e D(-2,-3,-3).\n
A pergunta é: os quatro pontos são coplanares? Ou seja, existe um plano que contenha simultaneamente A, B, C e D?

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática): uma maneira prática de testar coplanaridade em 3D é formar três vetores que partem do mesmo ponto, por exemplo \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD}. Esses três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou produto escalar triplo)
(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}
for igual a 0.\n
O produto misto pode ser calculado como o determinante 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes desses vetores. Se o determinante for 0, os vetores são linearmente dependentes e ficam num mesmo plano; se for diferente de 0, eles formam um paralelepípedo de volume não nulo, logo não são coplanares.\n
Agora vou mostrar passo a passo como calcular isso.

Passo 3

Primeiro calculamos os vetores componentes subtraindo coordenadas do mesmo ponto de referência A. Lembre que, para dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), o vetor \vec{PQ}=Q-P=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).\n
Aplicando isso:
\vec{AB}=B-A=(0-1,\;2-2,\;-2-1)=(-1,\;0,\;-3),
\vec{AC}=C-A=(-1-1,\;0-2,\;3-1)=(-2,\;-2,\;2),
\vec{AD}=D-A=(-2-1,\;-3-2,\;-3-1)=(-3,\;-5,\;-4).

Passo 4

Agora vamos calcular o produto misto como determinante da matriz cujas linhas são \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD}:
\Delta= \begin{vmatrix} -1 & 0 & -3\\[4pt] -2 & -2 & 2\\[4pt] -3 & -5 & -4 \end{vmatrix}.
Explico como expandir esse determinante usando a primeira linha: para uma matriz
\begin{vmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{vmatrix}
a expansão pela primeira linha é
a\,(ei-fh)-b\,(di-fg)+c\,(dh-eg).
Cada termo ei-fh é um determinante 2\times2. Vamos aplicar isso com a=-1, b=0, c=-3.]

Passo 5

Calcule os menores 2\times2:
Para a=-1 o menor é
\begin{vmatrix} -2 & 2\\[4pt] -5 & -4 \end{vmatrix}=(-2)(-4)-(2)(-5)=8-(-10)=18.
Para b=0 o menor seria
\begin{vmatrix} -2 & 2\\[4pt] -3 & -4 \end{vmatrix}=(-2)(-4)-(2)(-3)=8-(-6)=14,
mas como b=0 esse termo não contribui.
Para c=-3 o menor é
\begin{vmatrix} -2 & -2\\[4pt] -3 & -5 \end{vmatrix}=(-2)(-5)-(-2)(-3)=10-6=4.
Agora juntamos na fórmula do determinante:
\Delta = a\cdot 18 - b\cdot 14 + c\cdot 4.
Substituindo a=-1, b=0, c=-3:
\Delta = (-1)\cdot 18 - 0\cdot 14 + (-3)\cdot 4 = -18 + 0 -12 = -30.]

Passo 6

Interpretação: o produto misto \Delta vale -30, que é diferente de 0. Isso significa que os vetores \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD} não são coplanares — eles geram um paralelepípedo de volume proporcional a |\Delta|. Portanto, os quatro pontos A, B, C e D não pertencem a um mesmo plano.

Resposta

Os pontos não são coplanares.

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