Verifique se são coplanares os pontos: A(1,2,1), B(0,2,-2), C(-1,0,3) e D(-2,-3,-3)
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no espaço: A(1,2,1), B(0,2,-2), C(-1,0,3) e D(-2,-3,-3).\n
A pergunta é: os quatro pontos são coplanares? Ou seja, existe um plano que contenha simultaneamente A, B, C e D?
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicação didática): uma maneira prática de testar coplanaridade em 3D é formar três vetores que partem do mesmo ponto, por exemplo \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD}. Esses três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou produto escalar triplo)
(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}
for igual a 0.\n
O produto misto pode ser calculado como o determinante 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes desses vetores. Se o determinante for 0, os vetores são linearmente dependentes e ficam num mesmo plano; se for diferente de 0, eles formam um paralelepípedo de volume não nulo, logo não são coplanares.\n
Agora vou mostrar passo a passo como calcular isso.
Passo 3
Primeiro calculamos os vetores componentes subtraindo coordenadas do mesmo ponto de referência A. Lembre que, para dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), o vetor \vec{PQ}=Q-P=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).\n
Aplicando isso:
\vec{AB}=B-A=(0-1,\;2-2,\;-2-1)=(-1,\;0,\;-3),
\vec{AC}=C-A=(-1-1,\;0-2,\;3-1)=(-2,\;-2,\;2),
\vec{AD}=D-A=(-2-1,\;-3-2,\;-3-1)=(-3,\;-5,\;-4).
Passo 4
Agora vamos calcular o produto misto como determinante da matriz cujas linhas são \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD}:
Interpretação: o produto misto \Delta vale -30, que é diferente de 0. Isso significa que os vetores \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD} não são coplanares — eles geram um paralelepípedo de volume proporcional a |\Delta|. Portanto, os quatro pontos A, B, C e D não pertencem a um mesmo plano.