Considere o triângulo de vértices
e
. Determine o maior ângulo interno do triângulo
em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo $ ABC $ com os vértices $ A = (1, -3, -1) $, $ B = (2, -4, 3) $ e $ C = (-4, 3, -4) $. A missão é descobrir qual é o maior ângulo interno desse triângulo, medido em graus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, como a distância entre pontos e o cálculo de ângulos usando a lei dos cossenos. Vamos precisar de uma calculadora para achar os valores dos ângulos a partir dos cossenos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as medidas dos lados do triângulo $ ABC $. Como estamos no espaço tridimensional, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos $ P = (x_1, y_1, z_1) $ e $ Q = (x_2, y_2, z_2) $:
Vamos calcular as distâncias $ AB $, $ BC $ e $ AC $.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre os pontos $ A $ e $ B $:
Agora, entre $ B $ e $ C $:
E finalmente, entre $ A $ e $ C $:
Passo 4
Agora que temos as medidas dos lados $ AB \approx 4,24 $, $ BC \approx 11,58 $ e $ AC \approx 8,37 $, vamos usar a lei dos cossenos para encontrar os ângulos internos. A lei dos cossenos é dada por:
Onde $ \theta $ é o ângulo oposto ao lado $ a $, e $ b $ e $ c $ são os outros dois lados.
Vamos calcular cada ângulo:
Ângulo em A:
Calculando os quadrados:
Então,
Ângulo em B:
Calculando os quadrados:
Então,
Ângulo em C:
Podemos usar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $ 180° $:
Resposta
O maior ângulo interno do triângulo $ ABC $ é aproximadamente $ 130° $.