Considere o triângulo de vértices A=(1,-3,-1), B=(2,-4,3) e C=(-4,3,-4). Determine o maior ângulo interno do triângulo A B C em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo $ ABC $ com os vértices $ A = (1, -3, -1) $, $ B = (2, -4, 3) $ e $ C = (-4, 3, -4) $. A missão é descobrir qual é o maior ângulo interno desse triângulo, medido em graus. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, como a distância entre pontos e o cálculo de ângulos usando a lei dos cossenos. Vamos precisar de uma calculadora para achar os valores dos ângulos a partir dos cossenos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as medidas dos lados do triângulo $ ABC $. Como estamos no espaço tridimensional, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos $ P = (x_1, y_1, z_1) $ e $ Q = (x_2, y_2, z_2) $:
ABC â
Vamos calcular as distâncias $ AB $, $ BC $ e $ AC $.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos $ A $ e $ B $:
A
Agora, entre $ B $ e $ C $:
B
E finalmente, entre $ A $ e $ C $:
AB = raiz(2 - 1)^2 + (-4 - (-3))^2 + (3 - (-1))^2 = raiz1^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 approx 4,24

Passo 4

Agora que temos as medidas dos lados $ AB \approx 4,24 $, $ BC \approx 11,58 $ e $ AC \approx 8,37 $, vamos usar a lei dos cossenos para encontrar os ângulos internos. A lei dos cossenos é dada por:
AB approx 4,24
Onde $ \theta $ é o ângulo oposto ao lado $ a $, e $ b $ e $ c $ são os outros dois lados.
Vamos calcular cada ângulo:
Ângulo em A:
BC approx 11,58
Calculando os quadrados:
AC approx 8,37
Então,
cos(theta) = b^2 + c^2 - a^22bc
Ângulo em B:
theta
Calculando os quadrados:
a
Então,
b
Ângulo em C:
Podemos usar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é $ 180° $:
c

Resposta

O maior ângulo interno do triângulo $ ABC $ é aproximadamente $ 130° $.

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