Nos problemas de 1 a 3, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos ( a0 até a5 ) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(1-x) y^prime prime+y=0 , x0=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
(1 - x) y'' + y = 0
E precisamos resolver essa equação usando séries de potências em torno do ponto $ x_0 = 0 $. Isso significa que vamos expandir a solução $ y $ em uma série de potências de $ x $ e encontrar os coeficientes dessa série. Para isso, vamos precisar:
  • Entender como representar $ y $ e suas derivadas como séries de potências.
  • Substituir essas séries na equação diferencial.
  • Igualar os coeficientes dos mesmos poderes de $ x $ para encontrar uma relaçãorecorrência que nos ajude a determinar os coeficientes da série.
  • Calcular os seis primeiros termos da série ($ a_0 $ até $ a_5 $) da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
y

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y $:
A primeira derivada:
y
A segunda derivada:
y' = sumn=1^infty an n x^n-1 = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + dots

Passo 4

Substituímos $ y’’ $ e $ y $ na equação diferencial:
y''
Vamos expandir $ (1 - x) y’’ $:
y
Substituindo as séries:
(1 - x) y'' + y = 0

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2
Para alinhar os índices, fazemos uma mudança de variável: $ m = n - 2 $, então $ n = m + 2 $:
m = n - 2
Segundo termo:
n = m + 2
Mais uma mudança de variável: $ m = n - 1 $, então $ n = m + 1 $:
summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m
Terceiro termo:
- x sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-2 = - sumn=2^infty an n (n - 1) x^n-1

Passo 6

Agora, escrevemos tudo junto:
summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m - summ=1^infty am+1 (m+1) m x^m + summ=0^infty am x^m = 0
Para que a equação seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^m $ devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Para $ m = 0 $:
x
Para $ m \geq 1 $:
x^m

Passo 7

Vamos organizar a relação de recorrência para $ m \geq 0 $:
m >= 0
Simplificando:
am+2 = am+1 m (m+1) - am(m+2)(m+1)

Passo 8

Agora, vamos calcular os seis primeiros termos da série ($ a_0 $ a $ a_5 $).
Começamos definindo $ a_0 $. Normalmente, $ a_0 $ é uma constante arbitrária, então podemos deixá-lo como $ a_0 $. Para simplificar, vamos assumir $ a_0 = 1 $. O valor de $ a_1 $ também pode ser definido livremente; vamos assumir $ a_1 = c $, onde $ c $ é outra constante.
Usando a relação de recorrência:
Para $ m = 0 $:
a0
Para $ m = 1 $:
a5
Para $ m = 2 $:
a0
Vamos simplificar isso:
a0
Para $ m = 3 $:
a0
Simplificando:
a0 = 1
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
a1
Então:
a1 = c

Resposta

A relação de recorrência encontrada é:
am+2 = m am+1 - amm + 2
Os seis primeiros termos da solução geral são:
a0 &= 1 a1 &= c (constante arbitrária) a2 &= -12 a3 &= -12 - c3 a4 &= 1 - 4c24 a5 &= 7 - 4c120 á
Onde $ c $ é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais adicionais.

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