Nos problemas de 1 a 3, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos (
até
) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E precisamos resolver essa equação usando séries de potências em torno do ponto $ x_0 = 0 $. Isso significa que vamos expandir a solução $ y $ em uma série de potências de $ x $ e encontrar os coeficientes dessa série. Para isso, vamos precisar:
- Entender como representar $ y $ e suas derivadas como séries de potências.
- Substituir essas séries na equação diferencial.
- Igualar os coeficientes dos mesmos poderes de $ x $ para encontrar uma relaçãorecorrência que nos ajude a determinar os coeficientes da série.
- Calcular os seis primeiros termos da série ($ a_0 $ até $ a_5 $) da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x = 0 $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y $:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4
Substituímos $ y’’ $ e $ y $ na equação diferencial:
Vamos expandir $ (1 - x) y’’ $:
Substituindo as séries:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Para alinhar os índices, fazemos uma mudança de variável: $ m = n - 2 $, então $ n = m + 2 $:
Segundo termo:
Mais uma mudança de variável: $ m = n - 1 $, então $ n = m + 1 $:
Terceiro termo:
Passo 6
Agora, escrevemos tudo junto:
Para que a equação seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^m $ devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Para $ m = 0 $:
Para $ m \geq 1 $:
Passo 7
Vamos organizar a relação de recorrência para $ m \geq 0 $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos calcular os seis primeiros termos da série ($ a_0 $ a $ a_5 $).
Começamos definindo $ a_0 $. Normalmente, $ a_0 $ é uma constante arbitrária, então podemos deixá-lo como $ a_0 $. Para simplificar, vamos assumir $ a_0 = 1 $. O valor de $ a_1 $ também pode ser definido livremente; vamos assumir $ a_1 = c $, onde $ c $ é outra constante.
Usando a relação de recorrência:
Para $ m = 0 $:
Para $ m = 1 $:
Para $ m = 2 $:
Vamos simplificar isso:
Para $ m = 3 $:
Simplificando:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
Então:
Resposta
A relação de recorrência encontrada é:
Os seis primeiros termos da solução geral são:
Onde $ c $ é uma constante que pode ser determinada por condições iniciais adicionais.