Localizar, graficamente, as raízes das equações abaixo e isolá-las em intervalos.
2 ln (x)+0.4 x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, de forma gráfica, as raízes da equação 2ln(x)+0.4x-2=0 e isolá-las em intervalos. O conteúdo envolve funções transcendentes e vamos usar o teorema do valor intermediário e o estudo de monotonicidade.

Passo 2

Definimos a função f(x)=2ln(x)+0.4x-2. O domínio é x>0, pois ln(x) exige x>0.

Passo 3

Calculemos a derivada para ver se há mais de uma raiz:
f'(x)=2x+0.4
Como 2x>0 para todo x>0 e somamos 0.4>0, temos f'(x)>0. Logo, f é estritamente crescente e admite no máximo uma raiz.

Passo 4

Agora avaliamos f em dois pontos simples para detectar mudança de sinal:
f(1)=2ln(1)+0.4cdot1-2=0+0.4-2=-1.6<0,
f(2)=2ln(2)+0.4cdot2-2=2cdot0.6931+0.8-2approx0.186>0
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelo teorema do valor intermediário existe uma única raiz no intervalo (1,2).

Passo 5

Para isolar melhor, testamos valores entre 1.8 e 1.9:
f(1.87)approx2ln(1.87)+0.4cdot1.87-2approx-0.0028<0,
f(1.88)approx2ln(1.88)+0.4cdot1.88-2approx0.014>0
Assim a raiz fica isolada em (1.87,1.88)).

Resposta

A única raiz da equação está no intervalo (1.87, 1.88).

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