Nos problemas de 1 a 3, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto x0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos ( a0 até a5 ) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime+x^2 y=0 , x0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo $ y’’ + x^2 y = 0 $ que a gente precisa resolver usando uma série de potências em torno de $ x_0 = 0 $. Isso significa que vamos expressar a solução $ y $ como uma soma infinita de termos que envolvem potências de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo de séries e como manipular equações diferenciais usando essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x_0 = 0 $:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $. A primeira derivada é:
y
E a segunda derivada é:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
y

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que ambas as séries tenham o mesmo expoente de $ x $. Para a primeira soma, vamos mudar o índice substituindo $ n $ por $ n + 2 $:
x
E para a segunda soma, multiplicamos $ x^2 $ dentro da série:
n
Mas para combinar as somas, vamos reescrever a segunda soma começando de $ n = 0 $:
n + 2
Note que para $ n=0 $ e $ n=1 $, $ a_{n-2} $ não está definido, então esses termos são zero.

Passo 6

Agora, temos:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=0^infty an-2 x^n = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
x

Passo 7

Essa é a nossa relação de recorrência! Ela nos permite encontrar cada coeficiente $ a_{n+2} $ em termos dos anteriores. Vamos reescrever a relação:
an+2

Passo 8

Agora, vamos encontrar os primeiros seis termos da série, ou seja, $ a_0 $ até $ a_5 $. Para isso, vamos precisar de algumas condições iniciais. Normalmente, assumimos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes que podem ser determinadas pelas condições do problema, mas como não temos condições específicas aqui, vamos mantê-las como $ a_0 $ e $ a_1 $.
Vamos calcular cada coeficiente:
  • Para $ n = 0 $:
a0
  • Para $ n = 1 $:
a5
  • Para $ n = 2 $:
a0
  • Para $ n = 3 $:
a1
  • Para $ n = 4 $:
a0
  • Para $ n = 5 $:
a1

Passo 9

Então, os seis primeiros termos da solução geral são:
a0 &= a0 a1 &= a1 a2 &= 0 a3 &= 0 a4 &= -a012 a5 &= -a120

Passo 10

Se a gente observar o padrão, percebe que os coeficientes com índices pares dependem de $ a_0 $ e os ímpares de $ a_1 $. Além disso, todos os coeficientes com índices $ n $ pares além de $ a_0 $ são múltiplos negativos de $ a_0 $, e os ímpares são múltiplos negativos de $ a_1 $.

Passo 11

Para encontrar o termo geral, vamos notar que a relação de recorrência conecta $ a_{n+2} $ com $ a_{n-2} $. Isso sugere que a série se divide em duas partes: uma com termos pares e outra com termos ímpares.
Então, a solução geral será da forma:
an+2

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ + x^2 y = 0 $ em série de potências em torno de $ x_0 = 0 $ é:
y'' + x^2 y = 0
com os primeiros seis termos sendo:
x0 = 0
e a relação de recorrência dada por:
y(x) = a0 (1 - x^412 + dots ) + a1 (x - x^520 + dots )

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