Nos problemas de 1 a 3, resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os seis primeiros termos (
até
) da solução geral (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo $ y’’ + x^2 y = 0 $ que a gente precisa resolver usando uma série de potências em torno de $ x_0 = 0 $. Isso significa que vamos expressar a solução $ y $ como uma soma infinita de termos que envolvem potências de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo de séries e como manipular equações diferenciais usando essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de $ x_0 = 0 $:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que ambas as séries tenham o mesmo expoente de $ x $. Para a primeira soma, vamos mudar o índice substituindo $ n $ por $ n + 2 $:
E para a segunda soma, multiplicamos $ x^2 $ dentro da série:
Mas para combinar as somas, vamos reescrever a segunda soma começando de $ n = 0 $:
Note que para $ n=0 $ e $ n=1 $, $ a_{n-2} $ não está definido, então esses termos são zero.
Passo 6
Agora, temos:
Para que essa equação seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Passo 7
Essa é a nossa relação de recorrência! Ela nos permite encontrar cada coeficiente $ a_{n+2} $ em termos dos anteriores. Vamos reescrever a relação:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os primeiros seis termos da série, ou seja, $ a_0 $ até $ a_5 $. Para isso, vamos precisar de algumas condições iniciais. Normalmente, assumimos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes que podem ser determinadas pelas condições do problema, mas como não temos condições específicas aqui, vamos mantê-las como $ a_0 $ e $ a_1 $.
Vamos calcular cada coeficiente:
- Para $ n = 0 $:
- Para $ n = 1 $:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
- Para $ n = 4 $:
- Para $ n = 5 $:
Passo 9
Então, os seis primeiros termos da solução geral são:
Passo 10
Se a gente observar o padrão, percebe que os coeficientes com índices pares dependem de $ a_0 $ e os ímpares de $ a_1 $. Além disso, todos os coeficientes com índices $ n $ pares além de $ a_0 $ são múltiplos negativos de $ a_0 $, e os ímpares são múltiplos negativos de $ a_1 $.
Passo 11
Para encontrar o termo geral, vamos notar que a relação de recorrência conecta $ a_{n+2} $ com $ a_{n-2} $. Isso sugere que a série se divide em duas partes: uma com termos pares e outra com termos ímpares.
Então, a solução geral será da forma:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ + x^2 y = 0 $ em série de potências em torno de $ x_0 = 0 $ é:
com os primeiros seis termos sendo:
e a relação de recorrência dada por: