Considere o triângulo de vértices A=(1,-3,-1), B=(-2,1,-4) e C=(-2,-2,-3). Determine o maior ângulo interno do triângulo A B C em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é 1 / \sqrt{3}, o valor do ângulo é aproximadamente 0,955 \mathrm{rad} ou 54,74^{\circ}. Se utizarmos o valor aproximado 1 / \sqrt{\mathbf{3}} \approx 0,577 obtemos 0,956 \mathrm{rad} ou 54,76^{\circ}. Aqui aceitaremos uma tolerância de 0,1 comparado com o valor exato. Então, nesse caso, todos os valores entre 54,6 e 54,8 seriam considerados corretos. Por exemplo, 54,7 ou 54,74 seria correto. Note que os cálculos intermediários devem ser exatos ou ter uma precisão maior.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior ângulo interno do triângulo ABC em graus, onde os vértices são
A=(1,-3,-1),\qquad B=(-2,1,-4),\qquad C=(-2,-2,-3).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas dos três vértices A, B e C.
  • Pede-se o maior ângulo interno do triângulo ABC (ou seja, o maior dos ângulos em A, B e C).
  • Deve-se usar uma calculadora para obter o ângulo a partir do cosseno; entretanto os cálculos intermediários devem ser exatos ou com precisão alta.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular os vetores lado do triângulo a partir das coordenadas (pego os valores das coordenadas dadas).
As diferenças entre pontos dão os vetores que representam os lados:
\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,4,-3), \qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(-3,1,-2), \qquad \overrightarrow{BC}=C-B=(0,-3,1).
Explicando rápido: subtrair coordenadas é a definição de vetor entre dois pontos; por exemplo \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A).

Passo 3

Calcular os comprimentos (normas) desses vetores. Fórmula da norma de um vetor \overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z):
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aplicando aos nossos vetores (as contas abaixo são exatas em termos de inteiros dentro da raiz):
\|\overrightarrow{AB}\|^2 = (-3)^2+4^2+(-3)^2 = 9+16+9 = 34,
\|\overrightarrow{AC}\|^2 = (-3)^2+1^2+(-2)^2 = 9+1+4 = 14,
\|\overrightarrow{BC}\|^2 = 0^2+(-3)^2+1^2 = 0+9+1 = 10.
Portanto os comprimentos são
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{34},\qquad \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{14},\qquad \|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{10}.
Comparando os valores numéricos (para saber qual lado é o maior):
\sqrt{34}\approx5{,}83095,\quad \sqrt{14}\approx3{,}74166,\quad \sqrt{10}\approx3{,}16228.
Logo o maior lado é \overline{AB} (comprimento \sqrt{34}). Observação importante: no triângulo, o maior ângulo é oposto ao maior lado. Assim o maior ângulo está no vértice C (oposto ao lado AB).

Passo 4

Para calcular o ângulo no vértice C (ou seja, \angle ACB) uso o produto escalar entre os vetores que partem de C: \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}.
Primeiro escrevo esses vetores (subtraindo coordenadas; peguei os pontos do enunciado):
\overrightarrow{CA}=A-C=(3,-1,2),\qquad \overrightarrow{CB}=B-C=(0,3,-1).
Fórmula do produto escalar para ângulo: se \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} são vetores, então
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Isolando o cosseno:
\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|}.
Vou aplicar com \overrightarrow{u}=\overrightarrow{CA} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{CB}.

Passo 5

Calcular o produto escalar e aplicar a fórmula (os valores numéricos do produto escalar e das normas foram obtidos a partir das coordenadas dadas).
Produto escalar:
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=3\cdot0+(-1)\cdot3+2\cdot(-1)=0-3-2=-5.
Normas já calculadas anteriormente: \|\overrightarrow{CA}\|=\sqrt{14} e \|\overrightarrow{CB}\|=\sqrt{10}.
Logo o cosseno do ângulo em C é
\cos\angle ACB=\dfrac{-5}{\sqrt{14}\,\sqrt{10}}=\dfrac{-5}{\sqrt{140}}.
Pode-se simplificar \sqrt{140}=2\sqrt{35}, então
\cos\angle ACB=-\dfrac{5}{2\sqrt{35}}.
Esta expressão é exata (é o valor do cosseno). Numericamente:
\cos\angle ACB\approx -0{,}4225771273642583.

Passo 6

Agora uso uma calculadora para obter o ângulo a partir do cosseno e converter para graus (conforme pedido).
Calculei
\theta_C=\operatorname{arccos}\bigl(\cos\angle ACB\bigr)=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{5}{\sqrt{140}}\right).
Em graus (usando a conversão 1\\ \text{rad}=180^\circ/\pi internamente na calculadora) obtém-se
\theta_C\approx 114{,}997^\circ.
Arredondando de forma usual, isso corresponde aproximadamente a 115{,}0^\circ. Esse é, portanto, o maior ângulo interno do triângulo (pois está no vértice C).

Resposta

114{,}997^\circ

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