Considere o triângulo de vértices A=(1,-3,-1), B=(-2,1,-4) e C=(-2,-2,-3). Determine o maior ângulo interno do triângulo A B C em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é 1 / \sqrt{3}, o valor do ângulo é aproximadamente 0,955 \mathrm{rad} ou 54,74^{\circ}. Se utizarmos o valor aproximado 1 / \sqrt{\mathbf{3}} \approx 0,577 obtemos 0,956 \mathrm{rad} ou 54,76^{\circ}. Aqui aceitaremos uma tolerância de 0,1 comparado com o valor exato. Então, nesse caso, todos os valores entre 54,6 e 54,8 seriam considerados corretos. Por exemplo, 54,7 ou 54,74 seria correto. Note que os cálculos intermediários devem ser exatos ou ter uma precisão maior.
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior ângulo interno do triângulo ABC em graus, onde os vértices são
Pede-se o maior ângulo interno do triângulo ABC (ou seja, o maior dos ângulos em A, B e C).
Deve-se usar uma calculadora para obter o ângulo a partir do cosseno; entretanto os cálculos intermediários devem ser exatos ou com precisão alta.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular os vetores lado do triângulo a partir das coordenadas (pego os valores das coordenadas dadas).
As diferenças entre pontos dão os vetores que representam os lados:
Logo o maior lado é \overline{AB} (comprimento \sqrt{34}). Observação importante: no triângulo, o maior ângulo é oposto ao maior lado. Assim o maior ângulo está no vértice C (oposto ao lado AB).
Passo 4
Para calcular o ângulo no vértice C (ou seja, \angle ACB) uso o produto escalar entre os vetores que partem de C: \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}.
Primeiro escrevo esses vetores (subtraindo coordenadas; peguei os pontos do enunciado):
Vou aplicar com \overrightarrow{u}=\overrightarrow{CA} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{CB}.
Passo 5
Calcular o produto escalar e aplicar a fórmula (os valores numéricos do produto escalar e das normas foram obtidos a partir das coordenadas dadas).
Produto escalar:
Em graus (usando a conversão 1\\ \text{rad}=180^\circ/\pi internamente na calculadora) obtém-se
\theta_C\approx 114{,}997^\circ.
Arredondando de forma usual, isso corresponde aproximadamente a 115{,}0^\circ. Esse é, portanto, o maior ângulo interno do triângulo (pois está no vértice C).