Uma face de um cubo está no plano
e outra face está no plano
. Escreva o volume deste cubo com uma casa decimal.
A tolerância será de 0,1. Faça as contas intermediárias de maneira exata ou com pelo menos 3 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá duas faces de um cubo por suas equações de plano e pede o volume do cubo (com uma casa decimal). As informações fornecidas são:
- Plano 1:
. - Plano 2:
.
O que é pedido: o volume do cubo. Observação importante que vou usar adiante (não vou resolver ainda): duas faces opostas de um cubo são planos paralelos cujo afastamento (distância entre os planos) é exatamente o comprimento da aresta do cubo.
Passo 2
Verificar que os dois planos são paralelos (ou seja, têm normais proporcionais).
O vetor normal do primeiro plano é
.
O vetor normal do segundo plano é .
O vetor normal do segundo plano é
Note que
. Portanto os planos são paralelos (mesma direção normal, possivelmente escala diferente). Para comparar facilmente as constantes, multiplico a equação do primeiro plano por 2 para obter coeficientes iguais aos do segundo plano:
Agora os dois planos escritos com o mesmo vetor normal são
e
Passo 3
Lembrar e justificar a fórmula da distância entre dois planos paralelos.
Se dois planos estão na forma
e
a distância entre eles é dada por
Explicação rápida e didática: escolha qualquer ponto
sobre o primeiro plano; a distância do ponto
ao segundo plano é o módulo do valor da expressão
em
dividido pelo comprimento do vetor normal
. Como
satisfaz
, a diferença
aparece e chega-se à fórmula acima. É a projeção ao longo da direção normal.
Passo 4
Aplicar a fórmula aos planos já ajustados (mesmo
).
Aqui
,
,
, e as constantes são
(do plano obtido multiplicando o primeiro por 2) e
(do segundo plano). Assim a distância entre as faces é
Simplificando
, obtemos
Interpretação: como essas faces são opostas do cubo,
é o comprimento da aresta do cubo.
Passo 5
Expressão alternativa mais conveniente para cálculos: racionalizar parcialmente o denominador.
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos uma forma prática:
Esta forma facilita a elevação ao cubo.
Passo 6
Volume do cubo em forma exata simbólica.
O volume de um cubo de aresta
é
. Então
Como
e
, temos
Simplificando
,
Essa é a expressão exata do volume em termos de
.
Passo 7
Avaliação numérica (contas intermediárias com pelo menos 3 casas decimais, como pedido).
Primeiro a raiz:
Agora a aresta:
Calcule passo a passo:
Portanto, com três ou mais casas:
.
Agora o volume usando a forma
:
Com arredondamento apropriado e mantendo pelo menos 3 casas decimais nas contas intermediárias, obtemos
Passo 8
Arredondamento final solicitado: escrever o volume com uma casa decimal. Arredondando
para uma casa decimal resulta em
Força aí — respira, revisa rápido essa cadeia de passos antes da prova e decora o truque: identificar normais, ajustar constantes, usar a fórmula da distância e lembrar que a distância entre faces opostas é a aresta do cubo. Boa sorte!