Uma face de um cubo está no plano -2 x-y+z+10=0 e outra face está no plano -4 x-2 y+2 z-9=0. Escreva o volume deste cubo com uma casa decimal.
A tolerância será de 0,1. Faça as contas intermediárias de maneira exata ou com pelo menos 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá duas faces de um cubo por suas equações de plano e pede o volume do cubo (com uma casa decimal). As informações fornecidas são:
  • Plano 1: -2x-y+z+10=0.
  • Plano 2: -4x-2y+2z-9=0.
O que é pedido: o volume do cubo. Observação importante que vou usar adiante (não vou resolver ainda): duas faces opostas de um cubo são planos paralelos cujo afastamento (distância entre os planos) é exatamente o comprimento da aresta do cubo.

Passo 2

Verificar que os dois planos são paralelos (ou seja, têm normais proporcionais).
O vetor normal do primeiro plano é \mathbf{n}_1 = (-2,-1,1).
O vetor normal do segundo plano é \mathbf{n}_2 = (-4,-2,2).
Note que \mathbf{n}_2 = 2\mathbf{n}_1. Portanto os planos são paralelos (mesma direção normal, possivelmente escala diferente). Para comparar facilmente as constantes, multiplico a equação do primeiro plano por 2 para obter coeficientes iguais aos do segundo plano:
-2x-y+z+10=0 \quad\Longrightarrow\quad -4x-2y+2z+20=0.
Agora os dois planos escritos com o mesmo vetor normal são
-4x-2y+2z+20=0
e
-4x-2y+2z-9=0.

Passo 3

Lembrar e justificar a fórmula da distância entre dois planos paralelos.
Se dois planos estão na forma
ax+by+cz+d_1=0
e
ax+by+cz+d_2=0,
a distância entre eles é dada por
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Explicação rápida e didática: escolha qualquer ponto P sobre o primeiro plano; a distância do ponto P ao segundo plano é o módulo do valor da expressão ax+by+cz+d_2 em P dividido pelo comprimento do vetor normal \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Como P satisfaz ax+by+cz+d_1=0, a diferença d_2-d_1 aparece e chega-se à fórmula acima. É a projeção ao longo da direção normal.

Passo 4

Aplicar a fórmula aos planos já ajustados (mesmo a,b,c).
Aqui a=-4, b=-2, c=2, e as constantes são d_1=20 (do plano obtido multiplicando o primeiro por 2) e d_2=-9 (do segundo plano). Assim a distância entre as faces é
s=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|-9-20|}{\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{29}{\sqrt{16+4+4}}=\frac{29}{\sqrt{24}}.
Simplificando \sqrt{24}=2\sqrt6, obtemos
s=\frac{29}{2\sqrt6}.
Interpretação: como essas faces são opostas do cubo, s é o comprimento da aresta do cubo.

Passo 5

Expressão alternativa mais conveniente para cálculos: racionalizar parcialmente o denominador.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt6 obtemos uma forma prática:
s=\frac{29}{2\sqrt6}=\frac{29\sqrt6}{12}.
Esta forma facilita a elevação ao cubo.

Passo 6

Volume do cubo em forma exata simbólica.
O volume de um cubo de aresta s é V=s^3. Então
V=\left(\frac{29\sqrt6}{12}\right)^3=\frac{29^3(\sqrt6)^3}{12^3}.
Como (\sqrt6)^3=6\sqrt6 e 12^3=1728, temos
V=\frac{29^3\cdot 6\sqrt6}{1728}=\frac{24389\cdot 6\sqrt6}{1728}.
Simplificando 6/1728=1/288,
V=\frac{24389\sqrt6}{288}.
Essa é a expressão exata do volume em termos de \sqrt6.

Passo 7

Avaliação numérica (contas intermediárias com pelo menos 3 casas decimais, como pedido).
Primeiro a raiz:
\sqrt6\approx 2{,}449489743 \quad(\text{usando 9 casas significativas}).
Agora a aresta:
s=\frac{29\sqrt6}{12}\approx\frac{29\cdot 2{,}449489743}{12}.
Calcule passo a passo:
29\cdot 2{,}449489743 \approx 71{,}03520256,
s\approx \frac{71{,}03520256}{12}\approx 5{,}919600212.
Portanto, com três ou mais casas: s\approx 5{,}919600212.
Agora o volume usando a forma V=\dfrac{24389\sqrt6}{288}:
24389\cdot \sqrt6 \approx 24389\cdot 2{,}449489743 \approx 59{,}740{,}613{,}0\\ (\text{aprox.}),
V\approx \frac{59{,}740{,}613{,}0}{288}\approx 207{,}4327847\ldots
Com arredondamento apropriado e mantendo pelo menos 3 casas decimais nas contas intermediárias, obtemos
V\approx 207{,}4328.

Passo 8

Arredondamento final solicitado: escrever o volume com uma casa decimal. Arredondando V\approx 207{,}4328 para uma casa decimal resulta em
V\approx 207{,}4.
Força aí — respira, revisa rápido essa cadeia de passos antes da prova e decora o truque: identificar normais, ajustar constantes, usar a fórmula da distância e lembrar que a distância entre faces opostas é a aresta do cubo. Boa sorte!

Resposta

207{,}4

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