Considere um trocador de calor duplo tubo em que óleo entra a \mathbf{y}_{1}{ }^{\circ} \mathrm{C}, enquanto glicerina entra a \mathbf{y}_{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}, em contracorrente. A temperatura de saída do óleo é 25^{\circ} \mathrm{C} superior à da glicerina e a vazão mássica do óleo é 30 \% maior do que a da glicerina. O produto da superfície de transferência de calor e do coeficiente global de transferência de calor é de \mathbf{y}_{3} \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando o calor específico da glicerina de 2575 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} e o do óleo de 1885 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}, determinar (a) a temperatura de saída da glicerina e a do óleo, (b) a efetividade do trocador de calor, (c) a vazão mássica da glicerina e (d) a taxa de transferência de calor.
Observações:
  • Usar os 4 últimos números de sua matrícula para calcular os valores a seguir.
  • Para a temperatura de entrada do óleo \left(\mathrm{y}_{1}\right) : subtrair 10 dos 3 primeiros dos 4 últimos números de sua matrícula e atribuir o resultado como a temperatura de entrada do óleo, em { }^{\circ} \mathrm{C}. Exemplo: Matrícula 19.1.1762. A temperatura de entrada do óleo será (176-10) 166^{\circ} \mathrm{C}.
  • Para a temperatura de entrada da glicerina ( \mathrm{y}_{2} ): usar os 2 primeiros dos 4 últimos números de sua matrícula e atribuir como a temperatura de entrada da glicerina, em { }^{\circ} \mathrm{C}. Exemplos: matrícula 19.1.1762. A temperatura de entrada da glicerina será 17^{\circ} \mathrm{C}.
  • Para o produto da superfície de transferência de calor e do coeficiente global de transferência de calor ( \mathrm{y}_{3} ): atribuir os 4 últimos números de sua matrícula como sendo o produto da superfície de transferência de calor e do coeficiente global de transferência de calor. Exemplo: matrícula 19.1.1762. O produto da superfície de transferência de calor e do coeficiente global de transferência de calor será 1762 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.
(a) a temperatura de saída da glicerina e a do óleo, (b) a efetividade do trocador de calor, (c) a vazão mássica da glicerina e (d) a taxa de transferência de calor.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) a temperatura de saída da glicerina e a temperatura de saída do óleo;
  • (b) a efetividade do trocador de calor;
  • (c) a vazão mássica da glicerina;
  • (d) a taxa de transferência de calor.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Temperatura de entrada do óleo: \mathrm{y}_1\\ ^\circ\mathrm{C} (valor numérico depende dos 4 últimos dígitos da matrícula do aluno).
  • Temperatura de entrada da glicerina: \mathrm{y}_2\\ ^\circ\mathrm{C} (valor numérico depende dos 4 últimos dígitos da matrícula).
  • Produto UA = \mathrm{y}_3\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C} (valor numérico é os 4 últimos dígitos da matrícula).
  • A temperatura de saída do óleo é 25^\circ\mathrm{C} superior à da glicerina: isto é, T_{o,out} = T_{g,out} + 25.
  • A vazão mássica do óleo é 30\% maior que a da glicerina: \dot{m}_o = 1{,}3\,\dot{m}_g.
  • Calores específicos: glicerina c_g = 2575\\ \mathrm{J/(kg\;^\circ C)}, óleo c_o = 1885\\ \mathrm{J/(kg\;^\circ C)}.
  • O trocador é de contracorrente (usar LMTD de contracorrente).
Observação importante: os valores numéricos finais pedem que se usem os 4 últimos números da matrícula para obter \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2,\mathrm{y}_3. Estes 4 últimos números não foram fornecidos aqui. Portanto não é possível apresentar números finais numéricos específicos. Vou proceder com uma resolução completa e didática em termos de \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2,\mathrm{y}_3 (expressões finais). Assim, ao substituir os valores numéricos de \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2,\mathrm{y}_3 obtidos da matrícula, terá os resultados pedidos.

Passo 2

Definições de variáveis e suposições claras (para facilitar a prova):
  • Denotar temperaturas de entrada/saída:
    • temperatura de entrada do óleo: T_{o,in}=\mathrm{y}_1.
    • temperatura de saída do óleo: T_{o,out}.
    • temperatura de entrada da glicerina: T_{g,in}=\mathrm{y}_2.
    • temperatura de saída da glicerina: T_{g,out}.
  • Relação dada: T_{o,out}=T_{g,out}+25.
  • Vazões mássicas: \dot{m}_g (glicerina, incógnita) e \dot{m}_o = 1{,}3\,\dot{m}_g (óleo).
  • Calores específicos: c_g=2575, c_o=1885 (unidades \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}).
  • Produto UA=\mathrm{y}_3 (unidade \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}).
  • Assumo que o óleo é o fluido quente de entrada (ou seja, T_{o,in}>\!T_{g,in}). Se, ao substituir \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2, for o contrário, troca-se papel quente/frio nas fórmulas (a forma algébrica abaixo continua válida se as diferenças de temperatura seguirem o mesmo sinal).
Vou agora escrever as equações fundamentais que ligam essas variáveis.

Passo 3

Balanço de energia (conservação de energia no trocador):
  • A taxa de calor trocada \dot{Q} pode ser escrita pelo lado da glicerina:
\dot{Q} = \dot{m}_g\, c_g \, (T_{g,out}-T_{g,in}).
  • Pelo lado do óleo temos:
\dot{Q} = \dot{m}_o\, c_o \, (T_{o,in}-T_{o,out}) = 1{,}3\,\dot{m}_g \, c_o \, (T_{o,in}-T_{o,out}).
Igualando as duas expressões para \dot{Q} e usando T_{o,out}=T_{g,out}+25 e T_{o,in}=\mathrm{y}_1,\,T_{g,in}=\mathrm{y}_2, obtemos uma equação só em T_{g,out} (observe que \dot{m}_g cancela):
\dot{m}_g c_g (T_{g,out}-\mathrm{y}_2) = 1{,}3 \dot{m}_g c_o \big(\mathrm{y}_1 - (T_{g,out}+25)\big).
Cancelando \dot{m}_g (não-zero) e reorganizando:
c_g (T_{g,out}-\mathrm{y}_2) = 1{,}3 c_o \big(\mathrm{y}_1 - 25 - T_{g,out}\big).
Agrupando os termos com T_{g,out}:
c_g T_{g,out} + 1{,}3 c_o T_{g,out} = 1{,}3 c_o (\mathrm{y}_1 - 25) + c_g \mathrm{y}_2.
Logo
\boxed{T_{g,out} = \dfrac{1{,}3\,c_o\,(\mathrm{y}_1 - 25) + c_g\,\mathrm{y}_2}{c_g + 1{,}3\,c_o}.}
Esta é uma fórmula fechada para T_{g,out} em termos de \mathrm{y}_1 e \mathrm{y}_2 e dos calores específicos (os quais são numéricos e já dados). Muito importante: essa fórmula não depende de \mathrm{y}_3 nem de \dot{m}_g — é consequência direta do balanço e da condição de diferença de saída de 25^\circ.

Passo 4

A partir de T_{g,out} calcule-se a saída do óleo:
\boxed{T_{o,out} = T_{g,out} + 25.}
Substitua T_{g,out} da caixa acima para obter T_{o,out} em termos de \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2.

Passo 5

Agora vamos relacionar a taxa de calor \dot{Q} com o produto UA=\mathrm{y}_3 pelo método LMTD (contracorrente).
Definições das diferenças de temperatura necessárias:
  • \Delta T_1 = T_{o,in} - T_{g,out} = \mathrm{y}_1 - T_{g,out}.
  • \Delta T_2 = T_{o,out} - T_{g,in} = (T_{g,out}+25) - \mathrm{y}_2.
LMTD para contracorrente:
\mathrm{LMTD} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
(esta fórmula vale quando \Delta T_1 e \Delta T_2 têm o mesmo sinal e são diferentes; se iguais, a LMTD reduz-se a \Delta T_1.)
Taxa de calor segundo o efeito global de área:
\boxed{\dot{Q} = UA \cdot \mathrm{LMTD} = \mathrm{y}_3 \cdot \mathrm{LMTD}.}

Passo 6

Também \dot{Q} é dada pelo balanço do lado frio (glicerina):
\dot{Q} = \dot{m}_g\, c_g \, (T_{g,out}-\mathrm{y}_2).
Igualando com a expressão via UA,
\dot{m}_g\, c_g \, (T_{g,out}-\mathrm{y}_2) = \mathrm{y}_3 \cdot \mathrm{LMTD}.
Portanto, isolando \dot{m}_g:
\boxed{\dot{m}_g = \dfrac{\mathrm{y}_3 \cdot \mathrm{LMTD}}{c_g\, (T_{g,out}-\mathrm{y}_2)}.}
Nesta expressão, T_{g,out} é dado pela fórmula do Passo 3, e LMTD usa T_{g,out} nas suas diferenças de temperatura. Assim, \dot{m}_g é obtido diretamente quando \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2,\mathrm{y}_3 são conhecidos.

Passo 7

A efetividade do trocador \varepsilon é definida como a razão entre \dot{Q} real e \dot{Q}_{\max}, onde \dot{Q}_{\max} = C_{\min}\,(T_{h,in}-T_{c,in}). Precisamos primeiro identificar C-rates:
  • C_g = \dot{m}_g \, c_g.
  • C_o = \dot{m}_o \, c_o = 1{,}3\,\dot{m}_g \, c_o.
Comparando numericamente os termos constantes: 1{,}3\,c_o = 1{,}3\cdot 1885 = 2450{,}5 e c_g = 2575. Como 2450{,}5 < 2575, tem-se C_o < C_g para qualquer \dot{m}_g>0. Logo C_{\min}=C_o = 1{,}3\,\dot{m}_g c_o.
Assim
\dot{Q}_{\max} = C_{\min}\,(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2) = 1{,}3\,\dot{m}_g c_o \,(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2).
A efetividade:
\varepsilon = \frac{\dot{Q}}{\dot{Q}_{\max}} = \frac{\dot{m}_g c_g (T_{g,out}-\mathrm{y}_2)}{1{,}3\,\dot{m}_g c_o (\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2)}.
Cancelando \dot{m}_g:
\boxed{\varepsilon = \dfrac{c_g\,(T_{g,out}-\mathrm{y}_2)}{1{,}3\,c_o\,(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2)}.}
Nota: T_{g,out} é conhecido analyticamentedo Passo 3; então \varepsilon fica explicitamente em termos de \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2 e das constantes c_g,c_o.

Passo 8

Resumo prático de procedimento (o que executar na folha de prova / no cálculo, após obter os 4 últimos dígitos da matrícula e assim \mathrm{y}_1,\mathrm{y}_2,\mathrm{y}_3):
  1. Calcular T_{g,out} pela fórmula fechada:
T_{g,out} = \dfrac{1{,}3\,c_o\,(\mathrm{y}_1 - 25) + c_g\,\mathrm{y}_2}{c_g + 1{,}3\,c_o}.
  1. Calcular T_{o,out} = T_{g,out} + 25.
  2. Calcular \Delta T_1 = \mathrm{y}_1 - T_{g,out} e \Delta T_2 = T_{g,out}+25 - \mathrm{y}_2.
  3. Calcular \mathrm{LMTD} = (\Delta T_1 - \Delta T_2)/\ln(\Delta T_1/\Delta T_2) (cuidar do caso \Delta T_1\approx\Delta T_2 onde pode-se usar LMTD \approx\Delta T_1).
  4. Calcular \dot{Q} = \mathrm{y}_3 \cdot \mathrm{LMTD}.
  5. Calcular \dot{m}_g = \dot{Q}/\big(c_g (T_{g,out}-\mathrm{y}_2)\big).
  6. Calcular \varepsilon por
\varepsilon = \dfrac{c_g\,(T_{g,out}-\mathrm{y}_2)}{1{,}3\,c_o\,(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2)}.
Isto fornece todas as grandezas pedidas de forma direta. Se quiser, eu insiro seus 4 últimos dígitos e faço as contas numéricas passo a passo (mas não vou pedir esses dígitos — você pode colá-los se desejar).

Resposta

(a) T_{g,out} = \dfrac{1{,}3\,c_o\,(\mathrm{y}_1 - 25) + c_g\,\mathrm{y}_2}{c_g + 1{,}3\,c_o}, \quad T_{o,out} = T_{g,out} + 25.
(b) \displaystyle \varepsilon = \dfrac{c_g\,(T_{g,out}-\mathrm{y}_2)}{1{,}3\,c_o\,(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2)}.
(c) \displaystyle \dot{m}_g = \dfrac{\mathrm{y}_3 \cdot \mathrm{LMTD}}{c_g\,(T_{g,out}-\mathrm{y}_2)}, \quad onde \mathrm{LMTD}=\dfrac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)}, \Delta T_1=\mathrm{y}_1-T_{g,out}, \Delta T_2=T_{g,out}+25-\mathrm{y}_2.
(d) \displaystyle \dot{Q} = \mathrm{y}_3 \cdot \mathrm{LMTD}.

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