Um trocador de calor de tubo duplo de uma unidade industrial é usado para aquecer \mathbf{x}_{1} \mathrm{~kg} / \mathrm{min} de água fria de 15^{\circ} \mathrm{C} para 85^{\circ} \mathrm{C} usando água quente, que passa de 95^{\circ} \mathrm{C} a 35^{\circ} \mathrm{C}. A água fria flui pelo tubo interno enquanto a água quente flui pelo anel. O trocador é construído em aço SAE 1020, com condutividade térmica de 180 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, o tubo interno possui diâmetro interno de \mathbf{x}_{2} \mathrm{~cm} e espessura de 3 mm e o tubo externo possui diâmetro interno de \mathbf{x}_{3} \mathrm{~cm} e espessura de 5 mm . Calcule o comprimento total do trocador de calor.
OBSERVAÇÕES:
Usar os 4 últimos números de sua matrícula para calcular os valores a seguir.
Para a vazão mássica da água fria ( \mathrm{x}_{1} ): Atribuir os 4 últimos números de sua matrícula como a vazão mássica da água fria, em kg/min. Exemplo: matrícula 19.1.1762. A vazão mássica da água fria será 1762 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}.
Para o diâmetro interno do tubo central ( \mathrm{x}_{2} ): atribuir a soma dos 4 últimos números da matrícula como o diâmetro do tubo central, em centímetros. Exemplo: matrícula 19.1.1762. O diâmetro interno do tubo central será (1+7+6+2=) 16 \mathrm{~cm}.
Para o diâmetro interno do tubo externo ( \mathrm{x}_{3} ): Somar 6 cm ao diâmetro encontrado para o tubo interno ( \mathrm{x}_{2} ). Exemplos: matrícula 19.1.1762. O diâmetro interno do tubo externo será 22 cm .
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (peguei as letras \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 como incógnitas que você preencherá com os 4 últimos dígitos da sua matrícula, conforme as instruções do enunciado):
Fluxo mássico da água fria: \mathbf{x}_1\mathrm{kg/min} (essa é a vazão fria).
Água fria: entrada 15^\circ\mathrm{C}, saída 85^\circ\mathrm{C}.
Água quente (anel): entrada 95^\circ\mathrm{C}, saída 35^\circ\mathrm{C}.
Tubo interno (tubo central):
diâmetro interno \mathbf{x}_2 cm (ou seja \dfrac{\mathbf{x}_2}{100} m),
espessura 3 mm.
Tubo externo (o que forma o anel):
diâmetro interno \mathbf{x}_3 cm (ou seja \dfrac{\mathbf{x}_3}{100} m),
espessura 5 mm (não usada diretamente no cálculo do anel interno).
Material do tubo (aço SAE 1020): condutividade térmica k_{\text{steel}}=180\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Objetivo pedido: calcular o comprimento total L do trocador de calor (em metros).
Observação importante: seguir as regras do enunciado para substituir \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3. Aqui vou manter \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 simbólicos e fornecer a expressão final para L em função deles, com todos os passos para você poder substituir os números da sua matrícula e calcular na prova.
O que o problema pede explicitamente: determinar o comprimento total L do trocador (um trocador de tubo duplo, água fria no tubo interno, água quente no anel), usando os dados fornecidos.
Passo 2
Balanço de energia (potência térmica necessária). A água fria ganha calor de \;15^\circ\mathrm{C}\to85^\circ\mathrm{C} portanto:
Q=\dot m_c c_p (T_{c,out}-T_{c,in}).
Aqui:
\dot m_c é o fluxo mássico da água fria em \mathrm{kg/s}. Como \mathbf{x}_1 está em \mathrm{kg/min}, \displaystyle \dot m_c=\frac{\mathbf{x}_1}{60}\\ \mathrm{kg/s}.
Para água usaremos c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor padrão aproximado).
(Em forma prática: \displaystyle Q\approx 4876{,}6667\\ \mathbf{x}_1\\ \mathrm{W}.)
Também fazemos o balanço de energia entre os dois fluidos para achar a vazão do fluido quente (caso necessário). Como a água quente sai de 95^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C}, sua queda de temperatura é 95-35=60\\ \mathrm{K}. Igualando calor cedido e absorvido:
(Esse passo é importante porque precisamos da vazão mássica do anel para calcular velocidades e números adimensionais.)
Passo 3
Determinar a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD) para o arranjo. Como as temperaturas de entrada/saída dos dois fluidos são dadas e a configuração típica de tubo duplo é contra-corrente para melhor desempenho, usamos LMTD para contra-corrente:
Geometria e conversões de medidas (coloque suas \mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 em metros ao substituir):
Diâmetro interno do tubo central (tubo interno), em metros:D_i=\frac{\mathbf{x}_2}{100}\\ \mathrm{m}.
Espessura do tubo interno: t_i=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}. Assim o diâmetro externo do tubo interno éD_{io}=D_i+2t_i=D_i+0{,}006\\ \mathrm{m}.(É a superfície na qual ocorre a convecção do anel.)
Diâmetro interno do tubo externo (formando o anel), em metros:D_o=\frac{\mathbf{x}_3}{100}\\ \mathrm{m}.
Hidráulico do anel (diâmetro hidráulico do canal anular):D_h^{(ann)}=D_o-D_{io}.
Áreas de escoamento (se precisar):A_i=\frac{\pi D_i^2}{4},\qquad A_{ann}=\frac{\pi}{4}\bigl(D_o^2-D_{io}^2\bigr).
Passo 5
Propriedades do fluido (água) e escolha de valores de referência — explicação didática curta:
Para usar correlações de convecção forçada (Nusselt), precisamos da densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, condutividade térmica k e número de Prandtl \mathrm{Pr}. Essas propriedades variam com a temperatura; usa-se o “temperatura filme” média para avaliar propriedades.
Tomamos temperatura filme aproximadamente média entre entrada e saída do respectivo fluido:
Água fria: T_{f,c}\approx(15+85)/2=50^\circ\mathrm{C}.
Água quente: T_{f,h}\approx(95+35)/2=65^\circ\mathrm{C}.
Valores típicos aproximados (valores recomendados para cálculo prático; na prova use tabelas se disponíveis):
Densidade: \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (aproximação muito comum).
Número de Prandtl (calculado como \mathrm{Pr}=\dfrac{c_p\mu}{k}):\mathrm{Pr}_c\approx 3{,}57,\qquad \mathrm{Pr}_h\approx 2{,}75.
Esses valores são aproximados, mas suficientes para avaliação de ordem e para resolver o exercício conforme se costuma exigir em provas. Substitua por valores da tabela se solicitado.
Passo 6
Cálculo das velocidades médias e números de Reynolds (explico cada passo para você conseguir replicar na prova):
onde n=0{,}4 se o fluido está sendo aquecido (caso do fluido frio no tubo interno) e n=0{,}3 se o fluido está sendo resfriado (caso do fluido quente no anel). A Nusselt relaciona \mathrm{Nu}=h D/\!k_f, portanto
Para o tubo interno (água fria aquecida):\mathrm{Nu}_i=0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_c^{0{,}4}, \qquad h_i=\frac{\mathrm{Nu}_i\,k_f}{D_i}.
Para o anel (água quente resfriada), usamos D_h^{(ann)} como dimensão característica:\mathrm{Nu}_o=0{,}023\,\mathrm{Re}_o^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_h^{0{,}3}, \qquad h_o=\frac{\mathrm{Nu}_o\,k_f}{D_h^{(ann)}}.
Resumo das fórmulas úteis (substitua \mathrm{Re}_i,\mathrm{Re}_o das caixas do passo anterior):
(Se na sua prova os regimes forem laminares ou as Re forem baixos, use outra correlação; aqui assumimos Re em faixa que torna Dittus–Boelter aplicável — se quiser eu explico como testar a validade.)
Passo 8
Resistências térmicas e expressão para o comprimento L — explicação e derivas passo a passo:
A resistência térmica por unidade de comprimento entre o fluido interno e o fluido do anel tem três contribuições (convecção interna, condução radial na parede do tubo interno, convecção no anel). Em forma por unidade de comprimento (resistência térmica linear) temos:
Essa é a expressão prática final: para obter L calcule Q (Passo 2), \Delta T_{lm} (Passo 3), as geometria D_i,D_{io},D_o (Passo 4), as convecções h_i,h_o (Passo 7) e então avalie L.
Passo 9
Instruções claras para calcular numericamente (resumo passo a passo que você fará na prova com os seus números):
Converta \mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 para metros: D_i=\mathbf{x}_2/100, D_o=\mathbf{x}_3/100.
Avalie \mathrm{Re}_i=\dfrac{\mathbf{x}_1}{15\pi\mu_c D_i} com \mu_c\approx 5{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Avalie \mathrm{Re}_o=\dfrac{7\mathbf{x}_1}{90\pi\mu_h (D_o+D_{io})} com \mu_h\approx 4{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Calcule \mathrm{Nu}_i=0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_c^{0{,}4} com \mathrm{Pr}_c\approx 3{,}57.
Calcule \mathrm{Nu}_o=0{,}023\,\mathrm{Re}_o^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_h^{0{,}3} com \mathrm{Pr}_h\approx 2{,}75.
Obtenha h_i=\dfrac{\mathrm{Nu}_i k_f}{D_i} e h_o=\dfrac{\mathrm{Nu}_o k_f}{D_h^{(ann)}} com k_f\approx 0{,}64\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Calcule R' pela fórmula do passo 8 e finalmente L=\dfrac{Q\,R'}{\Delta T_{lm}}.
Se quiser, eu posso substituir um exemplo numérico (por exemplo usando a matrícula-teste do enunciado) para mostrar todas as contas aritméticas detalhadas. Mas, conforme o enunciado, deixei tudo em função de \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 para que você insira seus 4 últimos dígitos e execute os cálculos na prova.