Um trocador de calor de tubo duplo de uma unidade industrial é usado para aquecer \mathbf{x}_{1} \mathrm{~kg} / \mathrm{min} de água fria de 15^{\circ} \mathrm{C} para 85^{\circ} \mathrm{C} usando água quente, que passa de 95^{\circ} \mathrm{C} a 35^{\circ} \mathrm{C}. A água fria flui pelo tubo interno enquanto a água quente flui pelo anel. O trocador é construído em aço SAE 1020, com condutividade térmica de 180 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, o tubo interno possui diâmetro interno de \mathbf{x}_{2} \mathrm{~cm} e espessura de 3 mm e o tubo externo possui diâmetro interno de \mathbf{x}_{3} \mathrm{~cm} e espessura de 5 mm . Calcule o comprimento total do trocador de calor.
OBSERVAÇÕES:
  • Usar os 4 últimos números de sua matrícula para calcular os valores a seguir.
  • Para a vazão mássica da água fria ( \mathrm{x}_{1} ): Atribuir os 4 últimos números de sua matrícula como a vazão mássica da água fria, em kg/min. Exemplo: matrícula 19.1.1762. A vazão mássica da água fria será 1762 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}.
  • Para o diâmetro interno do tubo central ( \mathrm{x}_{2} ): atribuir a soma dos 4 últimos números da matrícula como o diâmetro do tubo central, em centímetros. Exemplo: matrícula 19.1.1762. O diâmetro interno do tubo central será (1+7+6+2=) 16 \mathrm{~cm}.
  • Para o diâmetro interno do tubo externo ( \mathrm{x}_{3} ): Somar 6 cm ao diâmetro encontrado para o tubo interno ( \mathrm{x}_{2} ). Exemplos: matrícula 19.1.1762. O diâmetro interno do tubo externo será 22 cm .

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (peguei as letras \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 como incógnitas que você preencherá com os 4 últimos dígitos da sua matrícula, conforme as instruções do enunciado):
  • Fluxo mássico da água fria: \mathbf{x}_1 \mathrm{kg/min} (essa é a vazão fria).
  • Água fria: entrada 15^\circ\mathrm{C}, saída 85^\circ\mathrm{C}.
  • Água quente (anel): entrada 95^\circ\mathrm{C}, saída 35^\circ\mathrm{C}.
  • Tubo interno (tubo central):
    • diâmetro interno \mathbf{x}_2 cm (ou seja \dfrac{\mathbf{x}_2}{100} m),
    • espessura 3 mm.
  • Tubo externo (o que forma o anel):
    • diâmetro interno \mathbf{x}_3 cm (ou seja \dfrac{\mathbf{x}_3}{100} m),
    • espessura 5 mm (não usada diretamente no cálculo do anel interno).
  • Material do tubo (aço SAE 1020): condutividade térmica k_{\text{steel}}=180\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Objetivo pedido: calcular o comprimento total L do trocador de calor (em metros).
  • Observação importante: seguir as regras do enunciado para substituir \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3. Aqui vou manter \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 simbólicos e fornecer a expressão final para L em função deles, com todos os passos para você poder substituir os números da sua matrícula e calcular na prova.
O que o problema pede explicitamente: determinar o comprimento total L do trocador (um trocador de tubo duplo, água fria no tubo interno, água quente no anel), usando os dados fornecidos.

Passo 2

Balanço de energia (potência térmica necessária). A água fria ganha calor de \;15^\circ\mathrm{C}\to85^\circ\mathrm{C} portanto:
Q=\dot m_c c_p (T_{c,out}-T_{c,in}).
Aqui:
  • \dot m_c é o fluxo mássico da água fria em \mathrm{kg/s}. Como \mathbf{x}_1 está em \mathrm{kg/min}, \displaystyle \dot m_c=\frac{\mathbf{x}_1}{60}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Para água usaremos c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor padrão aproximado).
  • \;T_{c,out}-T_{c,in}=85-15=70\\ \mathrm{K}.
Logo:
Q=\frac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot 4180\cdot 70 =\mathbf{x}_1\cdot\frac{4180\cdot 70}{60} =\mathbf{x}_1\cdot\frac{292600}{60} =\mathbf{x}_1\cdot\frac{14630}{3}\\ \mathrm{W}.
(Em forma prática: \displaystyle Q\approx 4876{,}6667\\ \mathbf{x}_1\\ \mathrm{W}.)
Também fazemos o balanço de energia entre os dois fluidos para achar a vazão do fluido quente (caso necessário). Como a água quente sai de 95^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C}, sua queda de temperatura é 95-35=60\\ \mathrm{K}. Igualando calor cedido e absorvido:
\dot m_h c_p (95-35)=\dot m_c c_p (85-15).
Cancelando c_p,
\dot m_h=\dot m_c\cdot\frac{70}{60}=\dot m_c\cdot\frac{7}{6}.
Em termos de \mathbf{x}_1 (em \mathrm{kg/s}):
\dot m_h=\frac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot\frac{7}{6}=\mathbf{x}_1\cdot\frac{7}{360}\\ \mathrm{kg/s}.
(Esse passo é importante porque precisamos da vazão mássica do anel para calcular velocidades e números adimensionais.)

Passo 3

Determinar a diferença de temperatura logarítmica média (LMTD) para o arranjo. Como as temperaturas de entrada/saída dos dois fluidos são dadas e a configuração típica de tubo duplo é contra-corrente para melhor desempenho, usamos LMTD para contra-corrente:
Definir:
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out}=95-85=10\\ \mathrm{K}, \qquad \Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in}=35-15=20\\ \mathrm{K}.
A LMTD é
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_2-\Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)} =\frac{20-10}{\ln(20/10)} =\frac{10}{\ln 2}.
Numericamente:
\Delta T_{lm}=\frac{10}{\ln 2}\approx 14{,}426\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Geometria e conversões de medidas (coloque suas \mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 em metros ao substituir):
  • Diâmetro interno do tubo central (tubo interno), em metros: D_i=\frac{\mathbf{x}_2}{100}\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do tubo interno: t_i=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}. Assim o diâmetro externo do tubo interno é D_{io}=D_i+2t_i=D_i+0{,}006\\ \mathrm{m}.(É a superfície na qual ocorre a convecção do anel.)
  • Diâmetro interno do tubo externo (formando o anel), em metros: D_o=\frac{\mathbf{x}_3}{100}\\ \mathrm{m}.
  • Hidráulico do anel (diâmetro hidráulico do canal anular): D_h^{(ann)}=D_o-D_{io}.
  • Áreas de escoamento (se precisar): A_i=\frac{\pi D_i^2}{4},\qquad A_{ann}=\frac{\pi}{4}\bigl(D_o^2-D_{io}^2\bigr).

Passo 5

Propriedades do fluido (água) e escolha de valores de referência — explicação didática curta:
  • Para usar correlações de convecção forçada (Nusselt), precisamos da densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, condutividade térmica k e número de Prandtl \mathrm{Pr}. Essas propriedades variam com a temperatura; usa-se o “temperatura filme” média para avaliar propriedades.
  • Tomamos temperatura filme aproximadamente média entre entrada e saída do respectivo fluido:
    • Água fria: T_{f,c}\approx(15+85)/2=50^\circ\mathrm{C}.
    • Água quente: T_{f,h}\approx(95+35)/2=65^\circ\mathrm{C}.
  • Valores típicos aproximados (valores recomendados para cálculo prático; na prova use tabelas se disponíveis):
    • Densidade: \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (aproximação muito comum).
    • Capacidade térmica: c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (já usada).
    • Condutividade térmica do fluido: k_f\approx 0{,}64\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (valor médio entre 50–65 °C).
    • Viscosidade dinâmica aproximada: \mu_c\\ (50^\circ\mathrm{C})\approx 5{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \qquad \mu_h\\ (65^\circ\mathrm{C})\approx 4{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Número de Prandtl (calculado como \mathrm{Pr}=\dfrac{c_p\mu}{k}): \mathrm{Pr}_c\approx 3{,}57,\qquad \mathrm{Pr}_h\approx 2{,}75.
Esses valores são aproximados, mas suficientes para avaliação de ordem e para resolver o exercício conforme se costuma exigir em provas. Substitua por valores da tabela se solicitado.

Passo 6

Cálculo das velocidades médias e números de Reynolds (explico cada passo para você conseguir replicar na prova):
Fluxos mássicos em \mathrm{kg/s}:
\dot m_c=\frac{\mathbf{x}_1}{60},\qquad \dot m_h=\frac{7\mathbf{x}_1}{360}.
Velocidade média no tubo interno:
v_i=\frac{\dot m_c}{\rho A_i} =\frac{\mathbf{x}_1/60}{\rho\cdot \dfrac{\pi D_i^2}{4}} =\frac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot\frac{4}{\rho\pi D_i^2}.
Número de Reynolds no tubo interno (use D_i como dimensão característica):
\mathrm{Re}_i=\frac{\rho v_i D_i}{\mu_c} =\frac{\rho}{\mu_c}\cdot\left(\frac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot\frac{4}{\rho\pi D_i^2}\right)D_i =\frac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot\frac{4}{\pi \mu_c D_i}.
Observe uma simplificação elegante: \rho cancela e ficamos com
\boxed{\displaystyle \mathrm{Re}_i=\frac{\mathbf{x}_1}{15\pi\mu_c D_i}.}
(Use \mu_c em \mathrm{Pa\cdot s} e D_i em metros; \mathbf{x}_1 em \mathrm{kg/min}.)
Para o anel, a velocidade média do fluido no anel é
v_{ann}=\frac{\dot m_h}{\rho A_{ann}} =\frac{7\mathbf{x}_1/360}{\rho\cdot \dfrac{\pi}{4}(D_o^2-D_{io}^2)} =\frac{7\mathbf{x}_1}{360}\cdot\frac{4}{\rho\pi(D_o^2-D_{io}^2)}.
O número de Reynolds do anel, usando o diâmetro hidráulico D_h^{(ann)}=D_o-D_{io}, é
\mathrm{Re}_o=\frac{\rho v_{ann} D_h^{(ann)}}{\mu_h} = \frac{\rho}{\mu_h}\cdot\left(\frac{7\mathbf{x}_1}{360}\cdot\frac{4}{\rho\pi(D_o^2-D_{io}^2)}\right)D_h^{(ann)}.
Usando D_o^2-D_{io}^2=(D_o-D_{io})(D_o+D_{io})=D_h^{(ann)}(D_o+D_{io}) obtemos cancelamento de D_h^{(ann)} e chegamos à forma simples
\boxed{\displaystyle \mathrm{Re}_o=\frac{7\mathbf{x}_1}{90\pi\mu_h (D_o+D_{io})}.}
(Outra vez: use \mu_h em \mathrm{Pa\cdot s}, diâmetros em metros.)
Essas formas simplificadas são úteis na prova porque reduzem a aritmética: observe que os diâmetros aparecem em lugar bem determinado.

Passo 7

Correlação de convecção (Dittus–Boelter) e cálculo de h_i e h_o — explicação e fórmula:
Para escoamentos turbulentos em tubos (caso típico na prática), usamos a correlação de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\mathrm{Pr}^n,
onde n=0{,}4 se o fluido está sendo aquecido (caso do fluido frio no tubo interno) e n=0{,}3 se o fluido está sendo resfriado (caso do fluido quente no anel). A Nusselt relaciona \mathrm{Nu}=h D/\!k_f, portanto
  • Para o tubo interno (água fria aquecida): \mathrm{Nu}_i=0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_c^{0{,}4}, \qquad h_i=\frac{\mathrm{Nu}_i\,k_f}{D_i}.
  • Para o anel (água quente resfriada), usamos D_h^{(ann)} como dimensão característica: \mathrm{Nu}_o=0{,}023\,\mathrm{Re}_o^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_h^{0{,}3}, \qquad h_o=\frac{\mathrm{Nu}_o\,k_f}{D_h^{(ann)}}.
Resumo das fórmulas úteis (substitua \mathrm{Re}_i,\mathrm{Re}_o das caixas do passo anterior):
\boxed{\displaystyle h_i=\frac{0{,}023\,k_f}{D_i}\,\Bigl(\mathrm{Re}_i\Bigr)^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_c^{0{,}4},} \qquad \boxed{\displaystyle h_o=\frac{0{,}023\,k_f}{D_h^{(ann)}}\,\Bigl(\mathrm{Re}_o\Bigr)^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_h^{0{,}3}.}
(Se na sua prova os regimes forem laminares ou as Re forem baixos, use outra correlação; aqui assumimos Re em faixa que torna Dittus–Boelter aplicável — se quiser eu explico como testar a validade.)

Passo 8

Resistências térmicas e expressão para o comprimento L — explicação e derivas passo a passo:
A resistência térmica por unidade de comprimento entre o fluido interno e o fluido do anel tem três contribuições (convecção interna, condução radial na parede do tubo interno, convecção no anel). Em forma por unidade de comprimento (resistência térmica linear) temos:
R'=\frac{1}{h_i\pi D_i} \;+\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{D_{io}}{D_i}\right)}{2\pi k_{\text{steel}}} \;+\; \frac{1}{h_o\pi D_{io}}.
A potência térmica também pode ser escrita por unidade de comprimento L:
Q=\frac{\Delta T_{lm}}{R'}\cdot\frac{1}{L}\\ \Longrightarrow\\ Q=\frac{\Delta T_{lm}}{R'/L}=\frac{\Delta T_{lm}}{R'/L}.
Arrumando para L:
\boxed{\displaystyle L = \frac{Q\,R'}{\Delta T_{lm}}.}
Ou explicitando R':
\boxed{\displaystyle L=\frac{Q}{\Delta T_{lm}}\left[\frac{1}{h_i\pi D_i}+\frac{\ln\!\left(\dfrac{D_{io}}{D_i}\right)}{2\pi k_{\text{steel}}}+\frac{1}{h_o\pi D_{io}}\right]. }
Essa é a expressão prática final: para obter L calcule Q (Passo 2), \Delta T_{lm} (Passo 3), as geometria D_i,D_{io},D_o (Passo 4), as convecções h_i,h_o (Passo 7) e então avalie L.

Passo 9

Instruções claras para calcular numericamente (resumo passo a passo que você fará na prova com os seus números):
  1. Converta \mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 para metros: D_i=\mathbf{x}_2/100, D_o=\mathbf{x}_3/100.
  2. Calcule D_{io}=D_i+0{,}006.
  3. Calcule Q=\dfrac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot 4180\cdot 70.
  4. Calcule \Delta T_{lm}=10/\ln 2\approx 14{,}426\\ \mathrm{K}.
  5. Avalie \mathrm{Re}_i=\dfrac{\mathbf{x}_1}{15\pi\mu_c D_i} com \mu_c\approx 5{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  6. Avalie \mathrm{Re}_o=\dfrac{7\mathbf{x}_1}{90\pi\mu_h (D_o+D_{io})} com \mu_h\approx 4{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  7. Calcule \mathrm{Nu}_i=0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_c^{0{,}4} com \mathrm{Pr}_c\approx 3{,}57.
  8. Calcule \mathrm{Nu}_o=0{,}023\,\mathrm{Re}_o^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_h^{0{,}3} com \mathrm{Pr}_h\approx 2{,}75.
  9. Obtenha h_i=\dfrac{\mathrm{Nu}_i k_f}{D_i} e h_o=\dfrac{\mathrm{Nu}_o k_f}{D_h^{(ann)}} com k_f\approx 0{,}64\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  10. Calcule R' pela fórmula do passo 8 e finalmente L=\dfrac{Q\,R'}{\Delta T_{lm}}.
Se quiser, eu posso substituir um exemplo numérico (por exemplo usando a matrícula-teste do enunciado) para mostrar todas as contas aritméticas detalhadas. Mas, conforme o enunciado, deixei tudo em função de \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 para que você insira seus 4 últimos dígitos e execute os cálculos na prova.

Resposta

\displaystyle L=\frac{\displaystyle \frac{\mathbf{x}_1}{60}\cdot 4180\cdot 70}{\displaystyle \frac{10}{\ln 2}}\left[\frac{1}{\pi D_i\,h_i}+\frac{\ln\!\left(\dfrac{D_{io}}{D_i}\right)}{2\pi k_{\text{steel}}}+\frac{1}{\pi D_{io}\,h_o}\right],
onde
D_i=\frac{\mathbf{x}_2}{100},\quad D_{io}=D_i+0{,}006,\quad D_h^{(ann)}=D_o-D_{io},\quad D_o=\frac{\mathbf{x}_3}{100},
\mathrm{Re}_i=\frac{\mathbf{x}_1}{15\pi\mu_c D_i},\quad \mathrm{Re}_o=\frac{7\mathbf{x}_1}{90\pi\mu_h (D_o+D_{io})},
\mathrm{Nu}_i=0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_c^{0{,}4},\quad \mathrm{Nu}_o=0{,}023\,\mathrm{Re}_o^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_h^{0{,}3},
h_i=\frac{\mathrm{Nu}_i\,k_f}{D_i},\qquad h_o=\frac{\mathrm{Nu}_o\,k_f}{D_h^{(ann)}},
com valores de propriedades de referência recomendados para uso prático:
c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad k_{\text{steel}}=180\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
k_f\approx 0{,}64\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \mu_c\approx 5{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad \mu_h\approx 4{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
\mathrm{Pr}_c\approx 3{,}57,\qquad \mathrm{Pr}_h\approx 2{,}75.
(Substitua nas fórmulas acima os valores numéricos dos seus \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 para calcular L em metros.)

Exercícios relacionados