Considere um tubo cilíndrico de seção transversal circular, de raio R, cujas paredes são feitas de um material de condutividade sigma gg epsilon omega, de forma que possa ser aproximado por um condutor perfeito. Nesse caso, obtenha os modos TM de propagação nesse tubo, o que consiste em: determinar os campos Ez, Et e Bt, além da frequência de corte para cada modo. Utilize coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede os modos TM (transverse magnetic) num guia cilíndrico perfeito de raio . Resumindo: temos um tubo de seção circular, paredes como condutor perfeito ( ), e queremos achar
  • o campo longitudinal ,
  • os campos transversos e ,
  • a frequência de corte de cada modo.
Conteúdo necessário:
  1. Equações de Maxwell no regime harmônico ( ).
  2. Condição de contorno em condutor perfeito (campo elétrico tangencial zero).
  3. Equação de Helmholtz em coordenadas cilíndricas e funções de Bessel.

Passo 2

Definição de modo TM: o componente magnético longitudinal é zero ( nablat^2 Ez + l(k^2 - kz^2r),Ez = 0, ) e o elétrico longitudinal . Das equações de Maxwell, para região fonte-livre e harmônica, obtemos a equação de Helmholtz para :
onde é o Laplaciano transverso em e definimos . Essa é a PDE fundamental que o deve satisfazer.

Passo 3

Resolvendo por separação de variáveis:
Ez(r,phi) = R(r),Phi(phi)
No ângulo, a periodicidade pede r^2R'' + rR' +l(kc^2,r^2 - m^2r)R = 0, ou , com . No raio, sobra a equação de Bessel:
cuja solução regular em é , onde é a função de Bessel de 1ª espécie.

Passo 4

Condição de contorno no condutor perfeito (superfície Ez(R,phi)=0 ;;Longrightarrow;; Jml(kc,Rr)=0 ): o campo elétrico tangencial deve anular. Para TM isso implica
kc,mn = xmnR Longrightarrow Ez^(m,n)(r,phi) = E0,Jm!l(tfracxmnR,rr)times cos(mphi), sin(mphi)
Chamamos de o -ésimo zero de . Assim

Passo 5

Dispersão e frequência de corte:
k^2 = kz^2 + kc,mn^2,
onde omegac,mn = kc,mnraizmuvarepsilon = xmnRraizmuvarepsilon . O modo só propaga se for real, ou seja , com

Passo 6

Campos transversos saem de Maxwell:
  1. Er = -i kzkc,mn^2,partial Ezpartial r, Ephi = -i kzkc,mn^2,1rpartial Ezpartialphi, ,
  2. Br = -iomegavarepsilonkc,mn^2,1rpartial Ezpartialphi, Bphi = iomegavarepsilonkc,mn^2,partial Ezpartial r
Escrevendo em componentes cilíndricas ( ):

Resposta

Os modos TM Ez^(m,n)(r,phi) = E0,Jm!l(tfracxmnRrr) cos(mphi), sin(mphi), em um guia cilíndrico perfeito são dados por
omegac,mn = xmnRraizmuvarepsilon,
com Er &= -i kz(xmn/R)^2,partialr Ez, Ephi = -i kz(xmn/R)^2,1rpartialphi Ez, Br &= -iomegavarepsilon(xmn/R)^2,1rpartialphi Ez, Bphi = iomegavarepsilon(xmn/R)^2,partialr Ez = -ésimo zero de ,
e
E é isso aí: identificamos , extraímos e pela derivada de e achamos . Qualquer coisa, avisa!

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