Considere um tubo cilíndrico de seção transversal circular, de raio
, cujas paredes são feitas de um material de condutividade
, de forma que possa ser aproximado por um condutor perfeito. Nesse caso, obtenha os modos TM de propagação nesse tubo, o que consiste em: determinar os campos
e
, além da frequência de corte para cada modo. Utilize coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, o exercício pede os modos TM (transverse magnetic) num guia cilíndrico perfeito de raio
. Resumindo: temos um tubo de seção circular, paredes como condutor perfeito (
), e queremos achar
- o campo longitudinal
, - os campos transversos
e , - a frequência de corte de cada modo.
Conteúdo necessário:
- Equações de Maxwell no regime harmônico (
). - Condição de contorno em condutor perfeito (campo elétrico tangencial zero).
- Equação de Helmholtz em coordenadas cilíndricas e funções de Bessel.
Passo 2
Definição de modo TM: o componente magnético longitudinal é zero (
) e o elétrico longitudinal
. Das equações de Maxwell, para região fonte-livre e harmônica, obtemos a equação de Helmholtz para
:
onde
é o Laplaciano transverso em
e definimos
. Essa é a PDE fundamental que o
deve satisfazer.
Passo 3
Resolvendo por separação de variáveis:
No ângulo, a periodicidade pede
ou
, com
. No raio, sobra a equação de Bessel:
cuja solução regular em
é
, onde
é a função de Bessel de 1ª espécie.
Passo 4
Condição de contorno no condutor perfeito (superfície
): o campo elétrico tangencial deve anular. Para TM isso implica
Chamamos de
o
-ésimo zero de
. Assim
Passo 5
Dispersão e frequência de corte:
onde
. O modo só propaga se
for real, ou seja
, com
Passo 6
Campos transversos saem de Maxwell:
-
, -
Escrevendo em componentes cilíndricas (
):
Resposta
Os modos TM
em um guia cilíndrico perfeito são dados por
com
=
-ésimo zero de
,
e
E é isso aí: identificamos
, extraímos
e
pela derivada de
e achamos
. Qualquer coisa, avisa!