Considere um tubo de seção retangular cujos lados são
e
, com
, feito de um material condutor (aproximadamente perfeito). Considere que o interior é preenchido com um material dielétrico linear e isotrópico caracterizado pelas constantes
e
(permissividade elétrica e permeabilidade magnética). Obtenha os modos de propagação TM dentro do tubo e as respectivas frequências de corte.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos um guia de ondas retangular de lados
e
(com
), paredes condutoras perfeitas, e interior cheio de um dielétrico linear isotrópico com permissividade
e permeabilidade
. Queremos achar os modos TM (ou seja, campos com
e
) e suas frequências de corte.
Matéria envolvida: guia de ondas retangular, equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas, separação de variáveis e condições de contorno de condutor perfeito.
Matéria envolvida: guia de ondas retangular, equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas, separação de variáveis e condições de contorno de condutor perfeito.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação de onda para o componente longitudinal do campo elétrico
. Em regime harmônico (
), a equação de Helmholtz é
onde
e
Como buscamos modos que se propagam ao longo de
, assumimos
onde
é a constante de propagação no eixo
.
Passo 3
Ao inserir essa forma na equação de Helmholtz, separamos variáveis e obtemos
Isolando os termos de
e
, definimos constantes de separação
e
, com
Então as equações para
e
ficam
Passo 4
Agora impomos as condições de contorno de condutor perfeito: o campo tangencial de
deve anular-se nas paredes. Como
é tangencial em todas as faces, temos
Isso força soluções senoidais:
com
Repare que não vale
nem
nos modos TM, pois aí
ficaria trivialmente zero.
Passo 5
Logo, o campo longitudinal para o modo
é
A relação de dispersão dá
Para o modo propagar (
real) precisamos
Resposta
Modos TM num guia retangular:
com
.
A frequência de corte de cada modo é
A frequência de corte de cada modo é