Considere um tubo de seção retangular cujos lados são a e b, com a>b, feito de um material condutor (aproximadamente perfeito). Considere que o interior é preenchido com um material dielétrico linear e isotrópico caracterizado pelas constantes epsilon e mu (permissividade elétrica e permeabilidade magnética). Obtenha os modos de propagação TM dentro do tubo e as respectivas frequências de corte.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um guia de ondas retangular de lados e (com ), paredes condutoras perfeitas, e interior cheio de um dielétrico linear isotrópico com permissividade e permeabilidade . Queremos achar os modos TM (ou seja, campos com e ) e suas frequências de corte.
Matéria envolvida: guia de ondas retangular, equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas, separação de variáveis e condições de contorno de condutor perfeito.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação de onda para o componente longitudinal do campo elétrico nabla^2 Ez + k^2 Ez = 0, . Em regime harmônico ( k^2 = omega^2muepsilon ), a equação de Helmholtz é
nabla^2 = partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2
onde
Ez(x,y,z) = X(x),Y(y),e^-jbeta z,
e
Como buscamos modos que se propagam ao longo de , assumimos
onde é a constante de propagação no eixo .

Passo 3

Ao inserir essa forma na equação de Helmholtz, separamos variáveis e obtemos
1Xd^2Xdx^2 + 1Yd^2Ydy^2 + l(k^2-beta^2r) = 0
Isolando os termos de kx^2 + ky^2 = k^2 - beta^2 e d^2Xdx^2 + kx^2,X = 0, d^2Ydy^2 + ky^2,Y = 0 , definimos constantes de separação e , com
Então as equações para e ficam

Passo 4

Agora impomos as condições de contorno de condutor perfeito: o campo tangencial de Ez(0,y,z)=0, Ez(a,y,z)=0, Ez(x,0,z)=0, Ez(x,b,z)=0 deve anular-se nas paredes. Como X(x)=sin!l(kx xr), Y(y)=sin!l(ky yr), é tangencial em todas as faces, temos
kx = mpia, m=1,2,3,dots
Isso força soluções senoidais:
ky = npib, n=1,2,3,dots
com
Repare que não vale nem nos modos TM, pois aí ficaria trivialmente zero.

Passo 5

Logo, o campo longitudinal para o modo Ez^(mn)(x,y,z) = E0,sin!l(tfracmpi xar), sin!l(tfracnpi ybr), e^-jbeta z é
beta^2 = k^2 - kx^2 - ky^2 = omega^2muepsilon - l(tfracmpiar)^2 - l(tfracnpibr)^2
A relação de dispersão dá
omega^2muepsilon ;>; l(tfracmpiar)^2 + l(tfracnpibr)^2
Para o modo propagar ( real) precisamos

Resposta

Modos TM num guia retangular:
Ez^(mn)(x,y,z) = E0, sin!l(tfracmpi xar), sin!l(tfracnpi ybr), e^-jbeta z, Hz^(mn)=0,
com omegac,mn = 1raizmuepsilon raizl(tfracmpiar)^2 + l(tfracnpibr)^2, .
A frequência de corte de cada modo é

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