Considere um tubo de escoamento com uma extremidade de área A_{1} situada a uma altura y_{1} acima de um nível de referencia. E outra extremidade maior de área A_{2} a uma altura y_{2} acima do mesmo nível de referencia. Seja V_{1} a velocidade do fluido através de A_{1} e V_{2} a velocidade do fluido através de A_{2}. Calcule a equação de Bernoulli para este tubo de escoamento.

Passo 1

O enunciado considera um fluido incompressível e sem atrito escoando em regime permanente por um tubo cujas extremidades têm áreas A_{1} e A_{2}, situadas a alturas y_{1} e y_{2} acima de um mesmo nível de referência. O que precisamos usar são dois princípios da mecânica dos fluidos: conservação de massa (equação da continuidade) e conservação de energia (equação de Bernoulli).

Passo 2

Pela conservação de massa, o fluxo volumétrico é constante em todo o trecho, logo\r
A_{1}V_{1}=A_{2}V_{2}.\r
Isto dá a relação entre as velocidades:\r
V_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}}\,V_{1}.

Passo 3

A equação de Bernoulli para um fluido ideal ao longo da mesma linha de corrente diz que a soma da pressão, da energia cinética e da energia potencial gravítica por unidade de volume é constante. Assim, para as seções 1 e 2 vale\r
P_{1}+\tfrac12\,\rho\,V_{1}^{2}+\rho\,g\,y_{1} = P_{2}+\tfrac12\,\rho\,V_{2}^{2}+\rho\,g\,y_{2}.

Passo 4

Se for preciso, podemos isolar qualquer termo; por exemplo, a diferença de pressão entre as seções é\r
P_{2}-P_{1} = \rho\,g\,(y_{1}-y_{2}) +\tfrac12\,\rho\,(V_{1}^{2}-V_{2}^{2}),\r
e substituindo V_{2}=(A_{1}/A_{2})V_{1} obtém-se a relação completa em função de V_{1}, A_{1}, A_{2}, y_{1} e y_{2}.

Resposta

P_{1}+\tfrac12\,\rho\,V_{1}^{2}+\rho\,g\,y_{1} = P_{2}+\tfrac12\,\rho\,V_{2}^{2}+\rho\,g\,y_{2}.

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