8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e a regra do quociente para derivadas parciais. Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar cada uma em relação a
e a
.
Passo 2
Defina
de modo que
. Como
segue
logo
De forma análoga,
portanto
Passo 3
Para
, aplique a regra do quociente a
Calculamos
Assim,
Passo 4
Para
, derive
em relação a
. Temos
Logo,
Passo 5
Para
, derive
em relação a
. Aqui
satisfaz
e
Portanto,