8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
z=\operatorname{arctg}\left(x^{2}-2 x y\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
z = \arctan\bigl(x^{2} - 2xy\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e a regra do quociente para derivadas parciais. Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar cada uma em relação a x e a y.

Passo 2

Defina
u(x,y) = x^{2} - 2xy,
de modo que z = \arctan(u). Como
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\arctan(u)\bigr) = \frac{1}{1+u^{2}}\;\frac{\partial u}{\partial x},
segue
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x - 2y,
logo
z_{x} = \frac{2(x - y)}{1 + \bigl(x^{2} - 2xy\bigr)^{2}}.
De forma análoga,
\frac{\partial u}{\partial y} = -2x,
portanto
z_{y} = \frac{-2x}{1 + \bigl(x^{2} - 2xy\bigr)^{2}}.

Passo 3

Para z_{xx}, aplique a regra do quociente a
z_{x} = \frac{N}{D}, \quad N = 2(x-y), \quad D = 1 + u^{2}.
Calculamos
N_{x} = 2, \quad D_{x} = 2u\,u_{x} = 2\bigl(x^{2}-2xy\bigr)\bigl(2x-2y\bigr) = 4\bigl(x^{2}-2xy\bigr)(x-y).
Assim,
z_{xx} = \frac{N_{x}D - N\,D_{x}}{D^{2}} = \frac{2\bigl(1+u^{2}\bigr) -2(x-y)\,4u(x-y)} {\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}} = \frac{2\bigl(1+u^{2}\bigr)-8u(x-y)^{2}}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Para z_{xy}, derive z_{x} = N/D em relação a y. Temos
N_{y} = -2, \quad D_{y} = 2u\,u_{y} = 2\bigl(x^{2}-2xy\bigr)(-2x) = -4x\,u.
Logo,
z_{xy} = \frac{N_{y}D - N\,D_{y}}{D^{2}} = \frac{-2\bigl(1+u^{2}\bigr) -2(x-y)\bigl(-4x\,u\bigr)} {\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}} = \frac{-2\bigl(1+u^{2}\bigr)+8x\,u(x-y)}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Para z_{yy}, derive
z_{y} = \frac{-2x}{D}
em relação a y. Aqui N=-2x satisfaz N_{y}=0 e
D_{y}=-4x\,u.
Portanto,
z_{yy} = \frac{0\cdot D -(-2x)\,D_{y}}{D^{2}} = \frac{-2x\bigl(-4x\,u\bigr)}{D^{2}} = \frac{-8x^{2}u}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}.

Resposta

u = x^{2}-2xy
z_{xx} = \frac{2\bigl(1+u^{2}\bigr)-8u(x-y)^{2}}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}, \quad z_{xy} = \frac{-2\bigl(1+u^{2}\bigr)+8x\,u(x-y)}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}, \quad z_{yy} = \frac{-8x^{2}u}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}.

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