Considere uma onda senoidal propagando-se no sentido positivo do eixo X. Qual é o seu comprimento de onda ? Qual a relação entre o comprimento de onda e a frequência angular ? Mostre que o comprimento de onda é a distância percorrida durante um período.

Passo 1

O enunciado pede para uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x: (i) qual é o comprimento de onda \lambda, (ii) como \lambda se relaciona com a frequência angular \omega e (iii) mostrar que \lambda é exatamente a distância percorrida pela onda num período. Isso envolve os conceitos de número de onda k, frequência angular \omega, período T e velocidade de fase v.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da onda viajante unidimensional
y(x,t) \;=\; A \,\sin\bigl(k\,x \;-\;\omega\,t + \varphi\bigr),
onde k é o número de onda (em rad/m) e \omega é a frequência angular (em rad/s). A velocidade de fase v da onda vem da condição de fase constante
k\,x - \omega\,t = \text{constante}
que implica
v \;=\;\frac{\omega}{k}.

Passo 3

Definimos o comprimento de onda \lambda como a menor distância \Delta x para a qual o argumento do seno aumenta em 2\pi. Ou seja, se deslocamos x para x+\lambda mantendo t fixo, deve valer
k\,(x+\lambda)-\omega\,t \;-\;\bigl(k\,x - \omega\,t\bigr) \;=\; k\,\lambda = 2\pi.
Logo
\lambda = \frac{2\pi}{k}.

Passo 4

Sabemos que a frequência angular e a frequência circular f estão ligadas por
\omega = 2\pi\,f,
e o período T é
T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}.
Como também vale a relação de onda viajante
v = \lambda\,f,
podemos escrever
\lambda = \frac{v}{f} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{v}{\omega/(2\pi)} = \frac{2\pi\,v}{\omega}.

Passo 5

Para ver que \lambda é a distância percorrida num período, basta notar que em um intervalo de tempo igual a T a crista da onda desloca-se
\text{distância} = v\,T.â
Mas T=2\pi/\omega, então
v\,T = v\,\frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\,v}{\omega} = \lambda,
mostrando que numa oscilação completa a onda avança exatamente uma crista de comprimento \lambda.

Resposta

O comprimento de onda é
\lambda = \frac{2\pi}{k}.
A relação entre \lambda e a frequência angular \omega (para velocidade de fase v) é
\lambda = \frac{2\pi\,v}{\omega}.
Além disso, como T=2\pi/\omega, em um período T a onda percorre
v\,T = \lambda,
logo \lambda é exatamente a distância percorrida durante um período.

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