Considere um tubo longo e fino contendo um líquido volátil que evapora e se difunde através de um meio gasoso estagnado. O líquido volátil em questão é o tolueno e o meio gasoso estagnado é o ar. A distância do final do tubo até a interface gás-líquido é igual a 1,52 \mathrm{~m}. A pressão total do sistema é \mathrm{P}=1 \mathrm{~atm} \mathrm{e} a temperatura do sistema é igual a 291 K . Sabe-se que a pressão de vapor do tolueno é igual a 0,026 \mathrm{~atm} e o coeficiente de difusão do tolueno em ar é igual a 0,82 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine o fluxo molar do tolueno na camada de ar estagnado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fluxo molar do tolueno na camada de ar estagnado. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
L=1{,}52\\ \mathrm{m}
P_{\text{total}}=1\\ \mathrm{atm}
T=291\\ \mathrm{K}
P_{A,\text{sat}}=0{,}026\\ \mathrm{atm}\quad(\text{pressão de vapor do tolueno})ã
D_{AB}=0{,}82\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}
A incógnita é o fluxo molar do tolueno, que vou chamar de N_A e expressar em \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicando passo a passo):
  • O fluxo molar por difusão unidimensional, em regime estacionário e em um meio onde não há convecção macroscópica do gás, é descrito pela lei de Fick na forma
N_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}.
Aqui:
  • N_A é o fluxo molar de A (tolueno) através de uma seção (unidade \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}});
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão de A em B (aqui dado);
  • C_A é a concentração molar de A ( \mathrm{mol\,m^{-3}});
  • x é a coordenada na direção do comprimento do tubo.
  • Para transformar concentração em pressão parcial usamos a lei dos gases ideais: a concentração molar de A é
C_A=\frac{P_A}{R\,T},
onde P_A é a pressão parcial de A, R é a constante dos gases e T a temperatura absoluta. Vou usar R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} (que é a mesma que \mathrm{Pa\,m^{3}\,mol^{-1}K^{-1}}).

Passo 3

Substituindo C_A=\dfrac{P_A}{R\,T} em Fick obtemos
N_A = -D_{AB}\,\frac{d}{dx}\!\left(\frac{P_A}{R\,T}\right) = -\frac{D_{AB}}{R\,T}\,\frac{dP_A}{dx}.
Isto mostra que o fluxo está ligado ao gradiente de pressão parcial de A.

Passo 4

Agora fazemos a integração unidimensional em regime estacionário entre as duas faces do filme de ar: em x=0 (interface líquido‑gás) temos P_A(0)=P_{A,\text{sat}} e no final do tubo, a x=L, assumimos que a mistura com o ar ambiente torna a pressão parcial de tolueno desprezível, isto é P_A(L)\approx 0. Essa hipótese é usual quando o vapor se difunde para um volume grande de ar onde sua fração é muito pequena. Integrando \dfrac{dP_A}{dx} de x=0 até x=L obtemos:
\int_{0}^{L} dP_A = P_A(L)-P_A(0) = -P_{A,\text{sat}},
e, como N_A é constante em regime estacionário, a integração da expressão do passo anterior dá
N_A = \frac{D_{AB}}{R\,T}\,\frac{P_{A,\text{sat}}}{L}.
Observe que o sinal ficou positivo porque P_A decresce com x.

Passo 5

Preparando para calcular numericamente: primeiro converto P_{A,\text{sat}} para pascal (porque usei R em SI):
1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad P_{A,\text{sat}}=0{,}026\times 101325 = 2634{,}45\\ \mathrm{Pa}.
Também escrevo D_{AB}=0{,}82\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}=8{,}2\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
A constante R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 6

Substituindo na fórmula
N_A = \frac{D_{AB}\,P_{A,\text{sat}}}{R\,T\,L}
faço as contas passo a passo:
\text{numerador} = D_{AB}\,P_{A,\text{sat}} = (8{,}2\times 10^{-6})\times(2634{,}45) =0{,}02160249\\ \mathrm{(Pa\cdot m^{2}/s)}.
\text{denominador} = R\,T\,L = 8{,}314\times 291 \times 1{,}52 = 3677{,}44848\\ \mathrm{(Pa\cdot m^{3}/mol)}.
Dividindo:
N_A = \frac{0{,}02160249}{3677{,}44848}\approx 5{,}8759\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}.
Arredondando com sentido prático, posso dar N_A \approx 5{,}88\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: a ideia prática que você precisa levar para a prova é — use Fick, troque concentração por pressão via C_A=P_A/(RT), integre com as condições de contorno (na interface pressão de saturação; no extremo distante pressão ~0) e plugue os números. Você já tem a técnica para problemas parecidos; respira, repete o procedimento em mais um exercício e fica mais seguro!

Resposta

N_A = 5{,}88\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}

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