(VALE 2,0 PONTOS) Resolva as integrais.
\int_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x-1}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}.\n
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=2 (superior).\n
  • Observação importante (tirada diretamente do integrando): em x=1 o denominador \sqrt{x-1} é zero, então a função fica singular nesse ponto — isso indica que a integral é imprópria no limite inferior.

Passo 2

Vamos transformar a integral para uma forma mais simples usando a substituição
u = x-1.
Explicando a ideia: a expressão \sqrt{x-1} fica simplesmente \sqrt{u}, e isso facilita usar a regra de potência para integrar. Calculamos também o diferencial:
du = dx.
Agora trocamos os limites usando u=x-1: quando x=1 temos u=0; quando x=2 temos u=1. Portanto a integral vira
\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x-1}} = \int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du.

Passo 3

Agora usamos a regra básica de integração para potências. Regra (explicada): para qualquer constante a\neq -1,
\int u^{a}\,du = \frac{u^{a+1}}{a+1} + C.
Aqui temos a=-\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra,
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\,u^{1/2} + C.
Ou seja, uma antiderivada de u^{-1/2} é 2\sqrt{u}.

Passo 4

Lembrando que a integral é imprópria no limite inferior u=0 (a função diverge ali), devemos interpretar a integral definida como um limite:
\int_{0}^{1} u^{-1/2}\,du = \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} u^{-1/2}\,du.
Usando a antiderivada 2\sqrt{u} para avaliar o integral entre \varepsilon e 1,
\int_{\varepsilon}^{1} u^{-1/2}\,du = \left.2\sqrt{u}\right|_{\varepsilon}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{\varepsilon} = 2 - 2\sqrt{\varepsilon}.
Agora tomamos o limite quando \varepsilon \to 0^{+}:
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \bigl(2 - 2\sqrt{\varepsilon}\bigr) = 2 - 0 = 2.
Portanto a integral converge e vale 2.

Passo 5

Para fechar: voltando à variável x, uma antiderivada do integrando original é
2\sqrt{x-1}.
Avaliando entre x=1 e x=2
2\sqrt{2-1} - 2\sqrt{1-1} = 2\cdot 1 - 2\cdot 0 = 2.
Pequena verificação para você: derivando 2\sqrt{x-1} obtém-se \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}, então a antiderivada está correta.

Resposta

2

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