(VALE 2,0 PONTOS) Resolva as integrais. \int_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x-1}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt{x-1}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}.\n
Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=2 (superior).\n
Observação importante (tirada diretamente do integrando): em x=1 o denominador \sqrt{x-1} é zero, então a função fica singular nesse ponto — isso indica que a integral é imprópria no limite inferior.
Passo 2
Vamos transformar a integral para uma forma mais simples usando a substituição
u = x-1.
Explicando a ideia: a expressão \sqrt{x-1} fica simplesmente \sqrt{u}, e isso facilita usar a regra de potência para integrar. Calculamos também o diferencial:
du = dx.
Agora trocamos os limites usando u=x-1: quando x=1 temos u=0; quando x=2 temos u=1. Portanto a integral vira