(VALE 2,0 PONTOS) Determine a área da regiza limitada pelas curvas
e
. Faça o esboço da região.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
. Também é solicitado que façamos um esboço da região.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Uma curva é a parábola
. - A outra curva é a reta
. - A região é a parte do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, o conjunto de pontos comuns entre elas e as linhas que as unem).
Não vamos ainda calcular nada — só listamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas: resolvemos
.
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
Portanto as soluções são
e
. Agora obtemos os correspondentes valores de
usando
(poderíamos também usar
, dá o mesmo):
- Para
: . Ponto de interseção . - Para
: . Ponto de interseção .
Passo 3
Determinar qual curva fica acima da outra entre os pontos de interseção (isso é necessário para montar o integrando como “topo menos base”). Pegamos um ponto entre
e
, por exemplo
:
-
. -
.
Logo, entree a reta está acima da parábola . Assim a altura de uma fatia vertical da região, em abscissa , é .
Passo 4
Explicação didática da fórmula de área entre curvas (como aplicar na prova):
Para encontrar a área de uma região limitada por duas curvas que se cruzam em e
, se entre
e
uma função
está sempre acima de outra
, então a área é dada por
Para encontrar a área de uma região limitada por duas curvas que se cruzam em
Por que isso? Imagine fatias verticais estreitas de largura
. A altura da fatia é
. A área da fatia é aproximadamente
. Somando (integrando) essas fatias de
até
obtemos a área total. Aqui
(topo) e
(base), e os limites são
e
.
Passo 5
Montamos o integral para a área:
Expandindo dentro do integral:
Agora calculamos a primitiva (antiderivada) termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
-
, -
, -
.
Assim uma primitiva para
é
Passo 6
Avaliar o integral definido usando
. Calculamos
e
.
Para
:
Para
:
Colocando em denominador comum
:
Agora a área é
:
Como verificação rápida, em decimal
.
Passo 7
Esboço da região (instrução passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe um sistema de eixos
e . - Desenhe a parábola
: vértice em , simétrica em relação ao eixo , passando por , , . - Desenhe a reta
: reta com coeficiente angular e intercepto igual a (cruza o eixo em ). - Marque os pontos de interseção
e (obtidos no Passo 2). - A região limitada é a “faixa” entre a reta (acima) e a parábola (abaixo) para
. Sombras essa região — ela é uma área fechada, com bordas sendo os dois arcos das curvas entre os pontos de interseção.
Dica amistosa: no rascunho da prova faça primeiro os pontos-chave
,
,
,
e ligue com a parábola e a reta; isso já deixa o esboço claro e rápido.