(VALE 2,0 PONTOS) Determine a área da regiza limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x+2. Faça o esboço da região.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x+2. Também é solicitado que façamos um esboço da região.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Uma curva é a parábola y=x^{2}.
  • A outra curva é a reta y=x+2.
  • A região é a parte do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, o conjunto de pontos comuns entre elas e as linhas que as unem).
    Não vamos ainda calcular nada — só listamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas: resolvemos x^{2}=x+2.
x^{2}-x-2=0
Essa é uma equação quadrática simples. Podemos fatorar:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0.
Portanto as soluções são x=2 e x=-1. Agora obtemos os correspondentes valores de y usando y=x+2 (poderíamos também usar y=x^{2}, dá o mesmo):
  • Para x=2: y=2+2=4. Ponto de interseção (2,4).
  • Para x=-1: y=-1+2=1. Ponto de interseção (-1,1).

Passo 3

Determinar qual curva fica acima da outra entre os pontos de interseção (isso é necessário para montar o integrando como “topo menos base”). Pegamos um ponto entre -1 e 2, por exemplo x=0:
  • y_{\text{parábola}}=0^{2}=0á.
  • y_{\text{reta}}=0+2=2.
    Logo, entre x=-1 e x=2 a reta y=x+2 está acima da parábola y=x^{2}. Assim a altura de uma fatia vertical da região, em abscissa x, é (x+2)-x^{2}.

Passo 4

Explicação didática da fórmula de área entre curvas (como aplicar na prova):
Para encontrar a área de uma região limitada por duas curvas que se cruzam em x=a e x=b, se entre a e b uma função f(x) está sempre acima de outra g(x), então a área é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
Por que isso? Imagine fatias verticais estreitas de largura dx. A altura da fatia é f(x)-g(x). A área da fatia é aproximadamente (f(x)-g(x))\,dx. Somando (integrando) essas fatias de a até b obtemos a área total. Aqui f(x)=x+2 (topo) e g(x)=x^{2} (base), e os limites são a=-1 e b=2.

Passo 5

Montamos o integral para a área:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx.Á
Expandindo dentro do integral:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\big(x+2-x^{2}\big)\,dx.Á
Agora calculamos a primitiva (antiderivada) termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},
  • \displaystyle \int 2\,dx=2x,
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Assim uma primitiva para x+2-x^{2} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar o integral definido usando F(x). Calculamos F(2) e F(-1).
Para x=2:
F(2)=\frac{2^{2}}{2}+2\cdot2-\frac{2^{3}}{3}=\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3}=2+4-\frac{8}{3}=6-\frac{8}{3}=\frac{18-8}{3}=\frac{10}{3}.
Para x=-1:
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+2(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-2-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
F(-1)=\frac{3-12+2}{6}=\frac{-7}{6}.
Agora a área é F(2)-F(-1):
\text{Área}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20+7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.Á
Como verificação rápida, em decimal \frac{9}{2}=4{,}5.

Passo 7

Esboço da região (instrução passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y.
  2. Desenhe a parábola y=x^{2}: vértice em (0,0), simétrica em relação ao eixo y, passando por (1,1), (-1,1), (2,4).
  3. Desenhe a reta y=x+2: reta com coeficiente angular 1 e intercepto y igual a 2 (cruza o eixo y em (0,2)).
  4. Marque os pontos de interseção (-1,1) e (2,4) (obtidos no Passo 2).
  5. A região limitada é a “faixa” entre a reta (acima) e a parábola (abaixo) para -1\le x\le2. Sombras essa região — ela é uma área fechada, com bordas sendo os dois arcos das curvas entre os pontos de interseção.
Dica amistosa: no rascunho da prova faça primeiro os pontos-chave (-1,1), (0,0), (0,2), (2,4) e ligue com a parábola e a reta; isso já deixa o esboço claro e rápido.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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