1- A irradiação do sol incide sobre a areia da praia a um fluxo de
e aquece a superfície. A absortividade média da areia é
. Em uma profundidade de 70 cm a partir da superficie, a temperatura da areia é igual a 20
e o ar ambiente encontra-se a
. A vizinhança, que emite radiação difusamente em todas as direções está a
. A’emissividade médiā da areia é
e o coeficiente convectivo de transferência de calor para o ar ambiente é
. A condutividade térmica da areia é
. Assumindo condições de regime estacionário:
(a) Esquematize o problema indicando dados e variáveis relevantes e especifique as considerações adotadas;
(b) Estime a temperatura da superficie da areia;
(c) Estime o fluxo de calor que chega na profundidade de 70 cm ;
(d) Qual o mecanismo predominante para a dissipação de calor?
(a) Esquematize o problema indicando dados e variáveis relevantes e especifique as considerações adotadas;
(b) Estime a temperatura da superficie da areia;
(c) Estime o fluxo de calor que chega na profundidade de 70 cm ;
(d) Qual o mecanismo predominante para a dissipação de calor?
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (a–d). Vou listar claramente cada pergunta e todos os dados numéricos fornecidos (peguei estes números do enunciado):
-
Perguntas:
(a) Esquematizar o problema indicando dados e variáveis relevantes e especificar as considerações adotadas.
(b) Estimar a temperatura da superfície da areia.
(c) Estimar o fluxo de calor que chega na profundidade de.
(d) Indicar o mecanismo predominante de dissipação de calor. -
Dados numéricos (todos extraídos do enunciado):
- Irradiação solar incidente:
. - Absortividade média da areia:
. - Temperatura da areia a
de profundidade: . - Temperatura do ar ambiente:
. - Temperatura efetiva da vizinhança (emissora difusa):
. - Emissividade média da areia:
. - Coeficiente convectivo para o ar:
. - Condutividade térmica da areia:
. - Regime: estacionário (steady state).
- Irradiação solar incidente:
Observação: parte (a) pede considerações/assunções — essas serão explicitadas no passo seguinte; até aqui apenas listei o que foi pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Esquema físico e considerações adotadas (resposta ao item (a) do enunciado).
-
Esquema verbal do problema:
- Superfície da areia recebe irradiação solar
. Uma fração dessa energia é absorvida na superfície (assumimos absorção superficial). Parte da energia é perdida para o ar por convecção, parte é emitida por radiação para a vizinhança, e parte é conduzida para o interior da areia (profundidade). - A profundidade
é tratada como um reservatório a temperatura fixa .
- Superfície da areia recebe irradiação solar
-
Variáveis relevantes (que usaremos):
-
: temperatura da superfície da areia (incógnita a determinar). -
: fluxo de calor conduzido para baixo, em . -
: fluxo de perda por convecção para o ar. -
: fluxo de perda por radiação para a vizinhança. -
: irradiância absorvida na superfície.
-
-
Considerações/assunções adotadas (explicitando hipóteses para poder modelar o problema):
- Regime estacionário (steady state): as temperaturas não variam no tempo.
- Transferência de calor unidimensional e vertical (1-D): variação relevante só com a profundidade
. - Absorção da radiação solar ocorre na superfície (camada muito fina). Ou seja, não há geração volumétrica de calor no interior da coluna de areia.
- Condutividade
constante com a temperatura (valor fornecido). - Na profundidade
a temperatura é mantida fixa em (condição de contorno conhecida). - Convecção na superfície descrita por um coeficiente
constante e conhecido. - Radiação superficial entre areia e vizinhança descrita pela lei de Stefan–Boltzmann:
, com . - Propriedades radiativas/difusas representadas pela emissividade média
(você pode imaginar a vizinhança como um “corpo negro” à temperatura multiplicado pela emissividade). - Sinais: considero fluxos positivos quando saem da superfície para o ambiente e positivos para baixo quando entram no solo; na equação de balanço convenho
(ou seja, o que entra por absorção é repartido nas três perdas).
Pronto — com isso temos o esquema e as hipóteses necessárias para montar as equações que resolveremos a seguir.
Passo 3
Montar as equações físicas e explicar cada termo (aula rápida).
-
Energia absorvida na superfície:Aqui
é fração da radiação solar absorvida; é fluxo incidente. -
Fluxo conduzido para baixo (1-D, regime estacionário, condutividade constante e perfil linear de temperatura):Explicação: em regime estacionário e 1-D, a derivada de temperatura é constante entre a superfície e a profundidade fixa, então
. O fluxo por condução, pela lei de Fourier, é . Escrevendo a magnitude que entra no solo (fluxo para baixo): . -
Fluxo convectivo para o ar (Lei de Newton do resfriamento):Explicação:
é o coeficiente convectivo e é a temperatura do ar distante; se , representa energia perdida ao ar. -
Fluxo radiativo para a vizinhança (Stefan–Boltzmann):Explicação: emissão líquida por unidade de área entre superfície e vizinhança. Todas as temperaturas devem estar em kelvin ao usar esta fórmula.
-
Balanço energético na superfície (steady state):Esta equação determina a temperatura de superfície
.
Agora vamos aplicar números.
Passo 4
Substituir números e preparar a equação a ser solucionada.
-
Calculando energia absorvida:
-
Converter as temperaturas conhecidas para kelvin (obrigatório na fórmula radiativa):
-
Escrever a equação numérica incógnita (em
, em kelvin): Substituindo valores conhecidos, , , , e em kelvin, obtemos uma equação não-linear em . -
Observação didática: a equação contém um termo
(radiação), por isso resolveremos numericamente (uma iteração simples é suficiente para boa precisão para este problema de prova).
Passo 5
Resolver numericamente por tentativa/iteração simples (método prático para prova, explicando os cálculos passo a passo).
Escolha um palpite inicial razoável para
. Esperativa qualitativa: superfície estará bem mais quente que o ar por causa da forte irradiância; escolho
(≈
) como chute inicial.
Calcular cada termo para
:
- Fluxo conduzido para baixo:
- Fluxo convectivo para o ar:
- Fluxo radiativo:
Primeiro calcular. Usando os valores:
logo a diferença vale aproximadamente
.
- Soma dos termos do lado direito:
Comparando com
, vemos que a soma dá
, muito próxima de
. Portanto
é uma solução satisfatória (erro menor que
). Para uma prova isso já é aceitável; se necessário, uma iteração adicional com
daria praticamente
. Assim:
Explicação pedagógica: o termo radiativo aumenta rápido com
(proporcional a
), então a temperatura de equilíbrio fica tal que convecção e radiação juntas dissipem a maior parte dos
; a condução para o interior é pequena porque a areia tem condutividade e um L relativamente grandes.
Passo 6
Calcular o fluxo de calor que chega na profundidade
(resposta ao item (c)).
Usando o valor de
obtido,
Interpretação: aproximadamente
por metro quadrado entra e é conduzido até a profundidade de
.
Passo 7
Determinar o mecanismo predominante de dissipação (resposta ao item (d)).
Já calculamos os três termos para
:
-
, -
, -
.
Percentual aproximado da dissipação de
:
- Convecção:
→ . - Radiação:
→ . - Condução para o interior:
→ .
Conclusão: o mecanismo predominante é a convecção para o ar ambiente; a radiação também é relevante, já a condução para o interior é pequena.
Resposta
(a) Esquema e considerações: superfície recebe
, absorve
. Variáveis:
(incógnita),
,
,
. Assunções: regime estacionário, 1‑D vertical, absorção superficial,
constante, convecção com coeficiente
, radiação por Stefan–Boltzmann com
, condição de contorno em
com
fixa.
(b) Temperatura da superfície da areia:
.
(c) Fluxo de calor que chega na profundidade de
:
(direção para baixo).
(d) Mecanismo predominante: convecção para o ar (aprox.
da dissipação), seguido de radiação (≈
); condução para o interior é pequena (≈
).