1- A irradiação do sol incide sobre a areia da praia a um fluxo de 1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e aquece a superfície. A absortividade média da areia é \alpha=0,60. Em uma profundidade de 70 cm a partir da superficie, a temperatura da areia é igual a 20 { }^{\circ} \mathrm{C} e o ar ambiente encontra-se a 30^{\circ} \mathrm{C}. A vizinhança, que emite radiação difusamente em todas as direções está a 28^{\circ} \mathrm{C}. A’emissividade médiā da areia é \varepsilon=0,8 e o coeficiente convectivo de transferência de calor para o ar ambiente é \mathrm{h}=15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). A condutividade térmica da areia é \mathrm{k}=0,60 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}). Assumindo condições de regime estacionário:
(a) Esquematize o problema indicando dados e variáveis relevantes e especifique as considerações adotadas;
(b) Estime a temperatura da superficie da areia;
(c) Estime o fluxo de calor que chega na profundidade de 70 cm ;
(d) Qual o mecanismo predominante para a dissipação de calor?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (a–d). Vou listar claramente cada pergunta e todos os dados numéricos fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Perguntas:
    (a) Esquematizar o problema indicando dados e variáveis relevantes e especificar as considerações adotadas.
    (b) Estimar a temperatura da superfície da areia.
    (c) Estimar o fluxo de calor que chega na profundidade de 0{,}70\\ \mathrm{m}.
    (d) Indicar o mecanismo predominante de dissipação de calor.
  • Dados numéricos (todos extraídos do enunciado):
    • Irradiação solar incidente: G=1000\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • Absortividade média da areia: \alpha=0{,}60.
    • Temperatura da areia a L=0{,}70\\ \mathrm{m} de profundidade: T_{L}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura efetiva da vizinhança (emissora difusa): T_{\mathrm{env}}=28^\circ\mathrm{C}.
    • Emissividade média da areia: \varepsilon=0{,}8.
    • Coeficiente convectivo para o ar: h=15\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
    • Condutividade térmica da areia: k=0{,}60\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Regime: estacionário (steady state).
Observação: parte (a) pede considerações/assunções — essas serão explicitadas no passo seguinte; até aqui apenas listei o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Esquema físico e considerações adotadas (resposta ao item (a) do enunciado).
  • Esquema verbal do problema:
    • Superfície da areia recebe irradiação solar G. Uma fração \alpha dessa energia é absorvida na superfície (assumimos absorção superficial). Parte da energia é perdida para o ar por convecção, parte é emitida por radiação para a vizinhança, e parte é conduzida para o interior da areia (profundidade).
    • A profundidade L=0{,}70\\ \mathrm{m} é tratada como um reservatório a temperatura fixa T_{L}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Variáveis relevantes (que usaremos):
    • T_{s}: temperatura da superfície da areia (incógnita a determinar).
    • q_{\mathrm{cond}}: fluxo de calor conduzido para baixo, em \mathrm{W/m^{2}}.
    • q_{\mathrm{conv}}: fluxo de perda por convecção para o ar.
    • q_{\mathrm{rad}}: fluxo de perda por radiação para a vizinhança.
    • G_{\mathrm{abs}}=\alpha G: irradiância absorvida na superfície.
  • Considerações/assunções adotadas (explicitando hipóteses para poder modelar o problema):
    1. Regime estacionário (steady state): as temperaturas não variam no tempo.
    2. Transferência de calor unidimensional e vertical (1-D): variação relevante só com a profundidade z.
    3. Absorção da radiação solar ocorre na superfície (camada muito fina). Ou seja, não há geração volumétrica de calor no interior da coluna de areia.
    4. Condutividade k constante com a temperatura (valor fornecido).
    5. Na profundidade L a temperatura é mantida fixa em T_{L}=20^\circ\mathrm{C} (condição de contorno conhecida).
    6. Convecção na superfície descrita por um coeficiente h constante e conhecido.
    7. Radiação superficial entre areia e vizinhança descrita pela lei de Stefan–Boltzmann: q_{\mathrm{rad}}=\varepsilon \sigma \left(T_{s}^{4}-T_{\mathrm{env}}^{4}\right), com \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K^{4})}.
    8. Propriedades radiativas/difusas representadas pela emissividade média \varepsilon (você pode imaginar a vizinhança como um “corpo negro” à temperatura T_{\mathrm{env}} multiplicado pela emissividade).
    9. Sinais: considero fluxos positivos quando saem da superfície para o ambiente e positivos para baixo quando entram no solo; na equação de balanço convenho G_{\mathrm{abs}} = q_{\mathrm{cond (down)}} + q_{\mathrm{conv}} + q_{\mathrm{rad}} (ou seja, o que entra por absorção é repartido nas três perdas).
Pronto — com isso temos o esquema e as hipóteses necessárias para montar as equações que resolveremos a seguir.

Passo 3

Montar as equações físicas e explicar cada termo (aula rápida).
  • Energia absorvida na superfície:
    G_{\mathrm{abs}}=\alpha G.
    Aqui \alpha é fração da radiação solar absorvida; G é fluxo incidente.
  • Fluxo conduzido para baixo (1-D, regime estacionário, condutividade constante e perfil linear de temperatura):
    q_{\mathrm{cond}}=k\,\frac{T_{s}-T_{L}}{L}.
    Explicação: em regime estacionário e 1-D, a derivada de temperatura é constante entre a superfície e a profundidade fixa, então dT/dz=(T_{L}-T_{s})/L. O fluxo por condução, pela lei de Fourier, é q=-k\,dT/dz. Escrevendo a magnitude que entra no solo (fluxo para baixo): q_{\mathrm{cond}}=k (T_{s}-T_{L})/L.
  • Fluxo convectivo para o ar (Lei de Newton do resfriamento):
    q_{\mathrm{conv}} = h\,(T_{s}-T_{\infty}).
    Explicação: h é o coeficiente convectivo e T_{\infty} é a temperatura do ar distante; se T_{s}>T_{\infty}, q_{\mathrm{conv}}>0 representa energia perdida ao ar.
  • Fluxo radiativo para a vizinhança (Stefan–Boltzmann):
    q_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\,\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\mathrm{env}}^{4}\right).
    Explicação: emissão líquida por unidade de área entre superfície e vizinhança. Todas as temperaturas devem estar em kelvin ao usar esta fórmula.
  • Balanço energético na superfície (steady state):
    G_{\mathrm{abs}} = q_{\mathrm{cond}} + q_{\mathrm{conv}} + q_{\mathrm{rad}}.
    Esta equação determina a temperatura de superfície T_{s}.
Agora vamos aplicar números.

Passo 4

Substituir números e preparar a equação a ser solucionada.
  • Calculando energia absorvida:
    G_{\mathrm{abs}}=\alpha G=0{,}60\times1000=600\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Converter as temperaturas conhecidas para kelvin (obrigatório na fórmula radiativa):
    T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\mathrm{env}}=28^\circ\mathrm{C}=301{,}15\\ \mathrm{K},
T_{L}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Escrever a equação numérica incógnita (em T_{s}, em kelvin):
    600 = k\,\frac{T_{s}-T_{L}}{L} + h\,(T_{s}-T_{\infty}) + \varepsilon\,\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\mathrm{env}}^{4}\right).
    Substituindo valores conhecidos k=0{,}60, L=0{,}70, h=15, \varepsilon=0{,}8, \sigma=5{,}67\times10^{-8} e T_{L},T_{\infty},T_{\mathrm{env}} em kelvin, obtemos uma equação não-linear em T_{s}.
  • Observação didática: a equação contém um termo T_{s}^{4} (radiação), por isso resolveremos numericamente (uma iteração simples é suficiente para boa precisão para este problema de prova).

Passo 5

Resolver numericamente por tentativa/iteração simples (método prático para prova, explicando os cálculos passo a passo).
Escolha um palpite inicial razoável para T_{s}. Esperativa qualitativa: superfície estará bem mais quente que o ar por causa da forte irradiância; escolho T_{s}^{(0)}=330\\ \mathrm{K} (≈ 56{,}85^\circ\mathrm{C}) como chute inicial.
Calcular cada termo para T_{s}=330\\ \mathrm{K}:
  1. Fluxo conduzido para baixo:
q_{\mathrm{cond}}=k\frac{T_{s}-T_{L}}{L} =0{,}60\frac{330-293{,}15}{0{,}70} =0{,}60\frac{36{,}85}{0{,}70} =0{,}60\times52{,}642857\approx31{,}59\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  1. Fluxo convectivo para o ar:
q_{\mathrm{conv}}=h\,(T_{s}-T_{\infty}) =15\,(330-303{,}15) =15\times26{,}85 =402{,}75\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  1. Fluxo radiativo:
    Primeiro calcular T_{s}^{4}-T_{\mathrm{env}}^{4}. Usando os valores:
T_{s}^{4}\approx(330)^{4}\approx1{,}1859\times10^{10},\qquad T_{\mathrm{env}}^{4}\approx(301{,}15)^{4}\approx8{,}225\times10^{9},
logo a diferença vale aproximadamente 3{,}636\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
q_{\mathrm{rad}}=\varepsilon\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\mathrm{env}}^{4}\right) \approx0{,}8\times5{,}67\times10^{-8}\times3{,}636\times10^{9} \approx165{,}0\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  1. Soma dos termos do lado direito:
q_{\mathrm{cond}}+q_{\mathrm{conv}}+q_{\mathrm{rad}}\approx31{,}59+402{,}75+165{,}0\approx599{,}3\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Comparando com G_{\mathrm{abs}}=600\\ \mathrm{W/m^{2}}, vemos que a soma dá 599{,}3, muito próxima de 600. Portanto T_{s}=330\\ \mathrm{K} é uma solução satisfatória (erro menor que 1\\ \mathrm{W/m^{2}}). Para uma prova isso já é aceitável; se necessário, uma iteração adicional com T_{s}=330{,}3\\ \mathrm{K} daria praticamente 600\\ \mathrm{W/m^{2}}. Assim:
T_{s}\approx330\\ \mathrm{K}=56{,}9^\circ\mathrm{C}.
Explicação pedagógica: o termo radiativo aumenta rápido com T_{s} (proporcional a T^{4}), então a temperatura de equilíbrio fica tal que convecção e radiação juntas dissipem a maior parte dos 600\\ \mathrm{W/m^{2}}; a condução para o interior é pequena porque a areia tem condutividade e um L relativamente grandes.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor que chega na profundidade L=0{,}70\\ \mathrm{m} (resposta ao item (c)).
Usando o valor de T_{s} obtido,
q_{\mathrm{cond}}=k\frac{T_{s}-T_{L}}{L} =0{,}60\frac{330-293{,}15}{0{,}70}\approx31{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: aproximadamente 31{,}6\\ \mathrm{W} por metro quadrado entra e é conduzido até a profundidade de 0{,}70\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determinar o mecanismo predominante de dissipação (resposta ao item (d)).
Já calculamos os três termos para T_{s}\approx330\\ \mathrm{K}:
  • q_{\mathrm{conv}}\approx402{,}8\\ \mathrm{W/m^{2}},
  • q_{\mathrm{rad}}\approx165{,}0\\ \mathrm{W/m^{2}},
  • q_{\mathrm{cond}}\approx31{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Percentual aproximado da dissipação de 600\\ \mathrm{W/m^{2}}:
  • Convecção: 402{,}8/600\approx0{,}671 67{,}1\%.
  • Radiação: 165{,}0/600\approx0{,}275 27{,}5\%.
  • Condução para o interior: 31{,}6/600\approx0{,}0527 5{,}3\%.
Conclusão: o mecanismo predominante é a convecção para o ar ambiente; a radiação também é relevante, já a condução para o interior é pequena.

Resposta

(a) Esquema e considerações: superfície recebe G=1000\\ \mathrm{W/m^{2}}, absorve G_{\mathrm{abs}}=\alpha G=600\\ \mathrm{W/m^{2}}. Variáveis: T_{s} (incógnita), T_{L}=20^\circ\mathrm{C}, T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}, T_{\mathrm{env}}=28^\circ\mathrm{C}. Assunções: regime estacionário, 1‑D vertical, absorção superficial, k constante, convecção com coeficiente h=15\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}, radiação por Stefan–Boltzmann com \varepsilon=0{,}8, condição de contorno em L=0{,}70\\ \mathrm{m} com T_{L} fixa.
(b) Temperatura da superfície da areia: T_{s}\approx330\\ \mathrm{K}\approx56{,}9^\circ\mathrm{C}.
(c) Fluxo de calor que chega na profundidade de 0{,}70\\ \mathrm{m}: q_{\mathrm{cond}}\approx31{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}} (direção para baixo).
(d) Mecanismo predominante: convecção para o ar (aprox. 67\% da dissipação), seguido de radiação (≈ 28\%); condução para o interior é pequena (≈ 5\%).

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