Uma corda de
e massa
está presa nas duas extremidades. Ela fica sujeita a uma tração de
e é posta para vibrar em uma onda estacionária com a menor frequência possível. Qual é o comprimento de onda desta onda?
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é o comprimento de onda desta onda estacionária (a menor frequência possível)?”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Comprimento da corda:
. - Massa da corda:
. - Tração (tensão) na corda:
.
Pergunta explícita: encontrar o comprimento de onda
da onda estacionária que corresponde à menor frequência possível.
Passo 2
Entendimento físico e grandezas que vamos usar.
- Em uma corda homogênea, a densidade linear de massa
(massa por unidade de comprimento) é dada por:
onde
tem unidade
,
é a massa total da corda e
o comprimento total.
Calculemos
com os dados:
Observação:
é igual a
.
Passo 3
Velocidade de propagação das ondas na corda.
- A velocidade de uma onda transverse numa corda sob tensão é dada por
onde
é a velocidade (m/s),
é a tensão (N) e
é a densidade linear de massa (
). Essa fórmula vem do balanço de forças e da equação de onda para um pequeno elemento da corda (intuição: mais tensão dá ondas mais rápidas; maior massa por comprimento dá ondas mais lentas).
Substituindo
e
:
Aproximando
:
Portanto
Passo 4
Condições de uma onda estacionária numa corda presa nas duas extremidades.
- Quando as duas extremidades são fixas, as posições
e são nós (deslocamento zero). Numa onda estacionária válida, a corda contém um número inteiro de meias-ondas. Isso significa:
onde
é um inteiro positivo (
) que indica o modo (harmônica) e
é o comprimento de onda correspondente a esse modo.
Rearranjando,
Passo 5
Encontrar o comprimento de onda para a menor frequência possível.
- A menor frequência possível corresponde ao menor
permitido, que é (modo fundamental). Para :
Com
,
Observação adicional (verificação e intuição): modo fundamental tem apenas um segmento de seno completo entre as extremidades (ou seja, meia-onda ao longo da corda?), mais intuitivamente a corda contém exatamente meia-onda ou um semiperíodo espacial? O resultado prático é que a maior comprimento de onda possível em uma corda de comprimento
com ambas extremidades fixas é
, o que corresponde à menor frequência.
Passo 6
(Complemento didático — frequência correspondente, opcional para compreensão)
- A relação entre velocidade, frequência
e comprimento de onda é
Para verificar coerência, a frequência do modo fundamental seria
um valor razoável que confirma que
é compatível com a velocidade calculada.