Uma corda de \mathbf{9 m} e massa \mathbf{1 5 0 g} está presa nas duas extremidades. Ela fica sujeita a uma tração de \mathbf{1 0 0} \mathbf{N} e é posta para vibrar em uma onda estacionária com a menor frequência possível. Qual é o comprimento de onda desta onda?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o comprimento de onda desta onda estacionária (a menor frequência possível)?”
Informações fornecidas:
  • Comprimento da corda: L=9\\ \text{m}.
  • Massa da corda: m=150\\ \text{g}=0,150\\ \text{kg}.
  • Tração (tensão) na corda: T=100\\ \text{N}.
Pergunta explícita: encontrar o comprimento de onda \lambda da onda estacionária que corresponde à menor frequência possível.

Passo 2

Entendimento físico e grandezas que vamos usar.
  • Em uma corda homogênea, a densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento) é dada por:
\mu=\frac{m}{L},
onde \mu tem unidade \mathrm{kg/m}, m é a massa total da corda e L o comprimento total.
Calculemos \mu com os dados:
\mu=\frac{0,150}{9}=0,016666\ldots\\ \mathrm{kg/m}.
Observação: 0,016666\ldots é igual a \dfrac{1}{60}.

Passo 3

Velocidade de propagação das ondas na corda.
  • A velocidade de uma onda transverse numa corda sob tensão é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde v é a velocidade (m/s), T é a tensão (N) e \mu é a densidade linear de massa ( \mathrm{kg/m}). Essa fórmula vem do balanço de forças e da equação de onda para um pequeno elemento da corda (intuição: mais tensão dá ondas mais rápidas; maior massa por comprimento dá ondas mais lentas).
Substituindo T=100\\ \mathrm{N} e \mu=0,016666\ldots\\ \mathrm{kg/m}:
v=\sqrt{\frac{100}{0,016666\ldots}}=\sqrt{6000}.
Aproximando \sqrt{6000}: \sqrt{6000}=\sqrt{6\cdot1000}=\sqrt{6}\sqrt{1000}\approx2,44949\cdot31,6228\approx77,46\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
v\approx77,46\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Condições de uma onda estacionária numa corda presa nas duas extremidades.
  • Quando as duas extremidades são fixas, as posições x=0 e x=L são nós (deslocamento zero). Numa onda estacionária válida, a corda contém um número inteiro de meias-ondas. Isso significa:
L = n\frac{\lambda}{2},
onde n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots) que indica o modo (harmônica) e \lambda é o comprimento de onda correspondente a esse modo.
Rearranjando,
\lambda_n=\frac{2L}{n}.

Passo 5

Encontrar o comprimento de onda para a menor frequência possível.
  • A menor frequência possível corresponde ao menor n permitido, que é n=1 (modo fundamental). Para n=1:
\lambda_1=\frac{2L}{1}=2L.
Com L=9\\ \text{m},
\lambda_1=2\cdot9=18\\ \text{m}.
Observação adicional (verificação e intuição): modo fundamental tem apenas um segmento de seno completo entre as extremidades (ou seja, meia-onda ao longo da corda?), mais intuitivamente a corda contém exatamente meia-onda ou um semiperíodo espacial? O resultado prático é que a maior comprimento de onda possível em uma corda de comprimento L com ambas extremidades fixas é 2L, o que corresponde à menor frequência.

Passo 6

(Complemento didático — frequência correspondente, opcional para compreensão)
  • A relação entre velocidade, frequência f e comprimento de onda é
v=f\lambda.
Para verificar coerência, a frequência do modo fundamental seria
f_1=\frac{v}{\lambda_1}\approx\frac{77,46}{18}\approx4,30\\ \text{Hz},
um valor razoável que confirma que \lambda_1=18\\ \text{m} é compatível com a velocidade calculada.

Resposta

18\\ \text{m}

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