Uma corda com \mathbf{3} \boldsymbol{m} tem massa desconhecida. A força de tração atuante tem intensidade de 40 N . É medido a velocidade da corda e é encontrada 21,91 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, Qual a massa da corda (em kg )?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede que se determine a massa da corda. As informações fornecidas são:
  • comprimento da corda: L=3\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • intensidade da força de tração (tensão na corda): T=40\\ \mathrm{N} (peguei do enunciado);
  • velocidade de propagação da onda na corda: v=21{,}91\\ \mathrm{m/s} (peguei do enunciado).
A pergunta é: qual é a massa m da corda, em quilogramas?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como se aplica na prova):
  • Para ondas transversais em uma corda tensa, a velocidade v da onda relaciona a tensão T e a densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento) pela fórmula
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
  • Aqui \mu é definida como \mu=\dfrac{m}{L}, onde m é a massa total da corda (o que queremos) e L é o comprimento da corda.
  • Explicando as variáveis:
    • v é a velocidade da onda em \mathrm{m/s};
    • T é a tensão (força de tração) em \mathrm{N} (newtons);
    • \mu é a massa por metro em \mathrm{kg/m};
    • m é a massa total em \mathrm{kg};
    • L é o comprimento em \mathrm{m}.
  • Motivação física intuitiva: quanto maior a tensão T, mais rápida fica a onda; quanto maior a massa por comprimento \mu, mais lenta fica a onda. A fórmula acima é o resultado dessa competição.

Passo 3

Isolar m a partir da fórmula. Primeiro escrevemos \mu em função de m:
\mu=\dfrac{m}{L}.
Substituindo em v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} e elevando ambos os lados ao quadrado:
v^2=\dfrac{T}{\mu}=\dfrac{T}{m/L}=\dfrac{T L}{m}.
Agora isolamos m:
m=\dfrac{T L}{v^2}.
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular a massa.

Passo 4

Aplicando os números dados (mostrando as contas passo a passo):
Calcular v^2:
v^2 = 21{,}91^2 = 480{,}0481\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Calcular o numerador T L:
T L = 40\\ \mathrm{N}\times 3\\ \mathrm{m} = 120\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora dividir para obter m:
m=\dfrac{T L}{v^2}=\dfrac{120}{480{,}0481}\\ \mathrm{kg}.
Fazendo a divisão (mostrando aproximação numérica):
\dfrac{120}{480{,}0481}\approx 0{,}249975\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com um número de dígitos razoável para uma medida experimental, obtemos aproximadamente 0{,}250\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Verificação rápida das unidades: \dfrac{T L}{v^2} tem unidades
\dfrac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{m^2/s^2}}=\dfrac{\mathrm{kg\;m/s^2}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{m^2/s^2}}=\mathrm{kg},
ou seja, resulta em quilogramas, conforme esperado.

Resposta

0{,}250\\ \text{kg}

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