Considere um tubo cilíndrico de seção transversal circular, de raio R, cujas paredes são feitas de um material de condutividade sigma gg epsilon omega, de forma que possa ser aproximado por um condutor perfeito. Deseja-se estimar as perdas Ôhmicas no tubo, melhorando, mesmo que em uma primeira aproximação, a hipótese de condutor perfeito para as paredes. Calcule a potência perdida por efeito Joule nas paredes por unidade de comprimento, d P loss / d z considerando apenas o modo TM de menor frequência de corte para o cálculo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um guia de onda cilíndrico (raio R) com paredes muito condutoras (σ≫εω), mas agora queremos ir além do modelo de condutor perfeito e avaliar as perdas ôhmicas (“efeito Joule”) que ocorrem na parede. A ideia é calcular a potência dissipada por unidade de comprimento,
dPrm lossdz,
considerando apenas o modo TM de menor frequência de corte (que é o TM₀₁).
Para resolver vamos precisar de:
  1. Conhecer a distribuição de campo do modo TM₀₁ (E_z e H_φ).
  2. Entender o conceito de resistência de superfície .
  3. Calcular a densidade de perda na parede com .
  4. Aplicar a condição de contorno e integrar sobre todo o perímetro da parede.

Passo 2

Modo TM₀₁ em cilíndrico:
  • O campo longitudinal de componente elétrica é Ez(r,z,t)=E0,J0(kc,r),e^i(omega t-beta z), com Hphi(r)= -iomegamu,partial Ezpartial r =-iomegamu,E0l(-kc,J1(kc,r)r) =;i,E0,kcomegamu;J1(kc,r) , sendo a primeira raiz de .
  • O único campo magnético tangencial (na parede) é o componente azimutal .
    Da equação de Maxwell obtemos

Passo 3

Resistência de superfície dPdA=12,Rs,l|Htr|^2, :
Quando o condutor não é perfeito mas muito bom, a corrente se concentra numa “camada de pele” e a perda por unidade de área na parede é
Rs=raizomegamusigma
com

Passo 4

Campo magnético na parede (r=R):
Hphi(R)=i,E0,kcomegamu;J1(kc,R) =i,E0,j01/Romegamu;J1(j01)
O módulo ao quadrado é
l|Hphi(R)r|^2 =l(E0,j01omegamu,Rr)^2;J1^2(j01)

Passo 5

Potência dissipada por unidade de comprimento:
Integramos dPrm lossdz =integralrm parede12,Rs,|Hphi(R)|^2,dl =12,Rs;l|Hphi(R)r|^2;(2pi R) ao longo do perímetro dPrm lossdz =12,Rs;l(E0,j01omegamu,Rr)^2 ;J1^2(j01);(2pi R) :
boxed dPrm lossdz =Rs,pi R;l(E0,j01omegamu,Rr)^!2 ,J1^2(j01), Rs=raizomegamusigma,; j01approx2,4048
Substituindo :
Dá para simplificar um pouco:

Resposta

dPrm lossdz =Rs,pi R;l(E0,j01omegamu,Rr)^!2 ,J1^2(j01), Rs=raizomegamusigma,; j01approx2,4048

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