Considere um tubo sólido longo, totalmente isolado no raio externo r2 e resfriado no raio interno r1, com termo de geração (neste caso consumo) uniforme de calor dotQ(W/m^3) no interior do sólido.
Determine a taxa de retirada de calor por unidade de comprimento do tubo.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos um tubo cilíndrico, com raio interno r₁ que está sendo resfriado e raio externo r₂ completamente isolado. Dentro do material, há uma geração (ou consumo) de calor uniforme, dada por dot Q (W/m^3). Aí a pergunta é: “qual é a taxa de calor que sai por unidade de comprimento desse tubo?”
Conteúdo: condução de calor radial em cilindro com geração interna.
O que precisamos:
  1. Montar a equação de condução em coordenadas cilíndricas com termo gerador.
  2. Integrar para achar a distribuição de temperatura T®.
  3. Aplicar as condições de contorno (isolamento em r₂ e remoção em r₁).
  4. Calcular o fluxo de calor no interior (r = r₁).

Passo 2

Primeiro, lembra da ideia de balanço de energia num “anel” cilíndrico de espessura dr:
– O calor que chega por r chega em parte gera energia no volume e sai por r + dr.
No regime permanente, isso dá a famosa equação
1rddrl(r,dTdrr) + dot Qk = 0,,
onde k é a condutividade térmica e dot Q é a geração volumétrica.

Passo 3

Agora vamos resolver essa ODE. Multiplicando por r:
ddrl(r,dTdrr) = -dot Qk,r,
Integramos em r:
r,dTdr = -dot Qk,r^22 + C1,,
e dividindo por r e integrando de novo:
$$\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot Q}{2k},r + \frac{C_1}{r} \quad\Longrightarrow\quad
T® = -\frac{\dot Q}{4k},r^2 + C_1\ln r + C_2,. $$

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno:
  1. Isolamento em r₂ Rightarrow fluxo nulo Rightarrow dT/dr|r=r2=0.
    Então
    0 = -dot Q2k,r2 + C1r2 Longrightarrow C1 = dot Q2k,r2^2,
  2. No interior, a temperatura T(r₁) não é especificada, mas a gente só precisa do fluxo ali.

Passo 5

O calor que sai pela superfície interna (por comprimento) é
Q' = -,k;2pi r1;dTdr|r=r1,
Substituindo dT/dr e C1:
$$\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_1}
= -\frac{\dot Q}{2k},r_1 + \frac{1}{r_1},\frac{\dot Q}{2k},r_2^2
= \frac{\dot Q}{2k}\Bigl(\frac{r_2^2}{r_1}-r_1\Bigr),. dTdr|r1 = -dot Q2k,r1 + 1r1,dot Q2k,r2^2 = dot Q2kl(r2^2r1-r1r), Q’ = -,k;2\pi r_1;\frac{\dot Q}{2k}\Bigl(\frac{r_2^2}{r_1}-r_1\Bigr)
 = \pi\,\dot Q\,(r_2^2 - r_1^2)\,. $$

Resposta

A taxa de calor removida por unidade de comprimento é
boxedQ' = pi,dot Q,l(r2^2 - r1^2r)l[W/mr]

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