Considere um tubo sólido longo, totalmente isolado no raio externo
e resfriado no raio interno
, com termo de geração (neste caso consumo) uniforme de calor
no interior do sólido.
Em uma aplicação prática, um limite poderia ser fixado para a temperatura máxima permitida na superfície isolada
. Especificando esse limite como
, identifique condições de contorno apropriadas que poderiam ser usadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral. Determine essas constantes e a forma correspondente da distribuição de temperaturas.
Em uma aplicação prática, um limite poderia ser fixado para a temperatura máxima permitida na superfície isolada
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos um “tubo” cilindrico longo, com geração volumétrica de calor (ou, no caso, consumo) uniforme
[W/m³]. O raio interno é
e o externo é
. A parede externa (
) está totalmente isolada e, na prática, precisamos garantir que a temperatura ali não ultrapasse um limite dado, que chamamos de
. Já a face interna (
) está em contato com um fluido que resfria por convecção, caracterizada por coeficiente
e temperatura do fluido
.
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração interna.
O que vamos usar:
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração interna.
O que vamos usar:
- A equação diferencial radial em regime permanente:
- Integração para chegar à solução geral
. - Aplicar as duas condições de contorno apropriadas para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, integramos a equação diferencial. Partindo de
onde , multiplicamos por
e integramos:
onde
-
. - Dividindo por
e integrando de novo:
ondee são as constantes a determinar.
Passo 3
Agora escolhemos duas condições de contorno:
(i) Na parede externa , fixamos a temperatura:
(ii) Na parede interna , aplicamos a condição de convecção:
(i) Na parede externa
(ii) Na parede interna
Passo 4
Escrevendo as duas equações:
-
-
, então em :
Passo 5
Dessas duas equações a gente resolve sistematicamente para
e
. O resultado fica:
Resposta
A distribuição de temperatura no tubo, em regime permanente, é
com
e
dados pelas fórmulas acima, que garantem
e a condição de convecção em
.