Considere um tubo sólido longo, totalmente isolado no raio externo r2 e resfriado no raio interno r1, com termo de geração (neste caso consumo) uniforme de calor dotQ(W/m^3) no interior do sólido.
Em uma aplicação prática, um limite poderia ser fixado para a temperatura máxima permitida na superfície isolada (r=r2). Especificando esse limite como Ts,2, identifique condições de contorno apropriadas que poderiam ser usadas para determinar as constantes arbitrárias que aparecem na solução geral. Determine essas constantes e a forma correspondente da distribuição de temperaturas.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos um “tubo” cilindrico longo, com geração volumétrica de calor (ou, no caso, consumo) uniforme [W/m³]. O raio interno é e o externo é . A parede externa ( ) está totalmente isolada e, na prática, precisamos garantir que a temperatura ali não ultrapasse um limite dado, que chamamos de . Já a face interna ( ) está em contato com um fluido que resfria por convecção, caracterizada por coeficiente e temperatura do fluido .
Conteúdo: condução de calor em coordenadas cilíndricas com geração interna.
O que vamos usar:
  1. A equação diferencial radial em regime permanente:
  2. Integração para chegar à solução geral .
  3. Aplicar as duas condições de contorno apropriadas para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, integramos a equação diferencial. Partindo de

onde , multiplicamos por e integramos:
  1. .
  2. Dividindo por e integrando de novo:

    onde e são as constantes a determinar.

Passo 3

Agora escolhemos duas condições de contorno:
(i) Na parede externa , fixamos a temperatura:

(ii) Na parede interna , aplica­mos a condição de convecção:

Passo 4

Escrevendo as duas equações:
  1. , então em :

Passo 5

Dessas duas equações a gente resolve sistematicamente para C1 ;=; Ts,2 - Tinfty ;-;dfracdot Q,r12h ;-;dfracdot Q,r1^24k ;+;dfracdot Q,r2^24k ln!l(tfracr2r1r);-;dfrackh,r1 , e C2 ;=; Tinfty ;+;dot Q,r12h ;+;dot Q,r1^24k ;-;C1,ln(r1) ;-;k,C1h,r1 . O resultado fica:

Resposta

A distribuição de temperatura no tubo, em regime permanente, é
boxed T(r) ;=; -dot Q4k,r^2 ;+; C1,ln(r) ;+; C2,
com e dados pelas fórmulas acima, que garantem e a condição de convecção em .

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