Considere um tubo de vapor dágua de comprimento
, diâmetro interno
e espessura da parede de 6 mm e condutividade térmica
. As superfícies interna e externa do tubo são mantidas a temperaturas médias de
e
, respectivamente.
Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do cilindro.
Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do cilindro.
Passo 1
Beleza, temos um tubo cilíndrico de vapor d’água, com comprimento L = 10 m, diâmetro interno d₁ = 5 cm e espessura de parede de 6 mm (ou seja, raio interno rᵢ = 0,025 m e raio externo rₒ = 0,031 m). As superfícies interna e externa estão a T₁ = 120 °C e T₂ = 60 °C, respectivamente, e a condutividade do material é k = 17 W/mK.
Conteúdo: condução de calor unidimensional radial em regime estacionário (sem geração interna).
O que precisamos:
Conteúdo: condução de calor unidimensional radial em regime estacionário (sem geração interna).
O que precisamos:
- Montar a equação diferencial de condução em coordenadas cilíndricas para regime permanente.
- Definir as condições de contorno (temperaturas conhecidas nos raios interno e externo).
Passo 2
Teoria básica: para condução de calor em regime estacionário SEM geração interna, a temperatura T só depende da coordenada radial r e satisfaz a forma geral da equação de Laplace. Em coordenadas cilíndricas (coordenadas radiais) e assumindo simetria angular e longitudinal (problema unidimensional radial), a equação é
Como k é constante, podemos simplificar para
Passo 3
Esse resultado significa que o fluxo de calor radial é constante em r. Então, nossa equação diferencial final é:
Passo 4
Agora, só faltam as condições de contorno, que vêm direto das temperaturas impostas no tubo:
- Na superfície interna (r = rᵢ = 0,025 m), T = T₁ = 120 °C.
- Na superfície externa (r = rₒ = 0,031 m), T = T₂ = 60 °C.
Resposta
Equação diferencial (regime permanente, condução unidimensional radial em coordenadas cilíndricas):
Condições de contorno: