Considere um tubo de vapor dágua de comprimento L=10 m, diâmetro interno d1=5 cm e espessura da parede de 6 mm e condutividade térmica k=17 W / mK. As superfícies interna e externa do tubo são mantidas a temperaturas médias de T1=120^circ C e T2=60^circ C, respectivamente.
Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do cilindro.

Passo 1

Beleza, temos um tubo cilíndrico de vapor d’água, com comprimento L = 10 m, diâmetro interno d₁ = 5 cm e espessura de parede de 6 mm (ou seja, raio interno rᵢ = 0,025 m e raio externo rₒ = 0,031 m). As superfícies interna e externa estão a T₁ = 120 °C e T₂ = 60 °C, respectivamente, e a condutividade do material é k = 17 W/mK.
Conteúdo: condução de calor unidimensional radial em regime estacionário (sem geração interna).
O que precisamos:
  1. Montar a equação diferencial de condução em coordenadas cilíndricas para regime permanente.
  2. Definir as condições de contorno (temperaturas conhecidas nos raios interno e externo).

Passo 2

Teoria básica: para condução de calor em regime estacionário SEM geração interna, a temperatura T só depende da coordenada radial r e satisfaz a forma geral da equação de Laplace. Em coordenadas cilíndricas (coordenadas radiais) e assumindo simetria angular e longitudinal (problema unidimensional radial), a equação é
1r,ddr!l(r,k,dTdrr) ;=; 0
Como k é constante, podemos simplificar para
1r,ddr!l(r,dTdrr) ;=; 0

Passo 3

Esse resultado significa que o fluxo de calor radial é constante em r. Então, nossa equação diferencial final é:
ddr!l(r,dTdrr) ;=; 0

Passo 4

Agora, só faltam as condições de contorno, que vêm direto das temperaturas impostas no tubo:
  1. Na superfície interna (r = rᵢ = 0,025 m), T = T₁ = 120 °C.
  2. Na superfície externa (r = rₒ = 0,031 m), T = T₂ = 60 °C.

Resposta

Equação diferencial (regime permanente, condução unidimensional radial em coordenadas cilíndricas):
ddr!l(r,dTdrr) = 0
Condições de contorno:
T(ri = 0,025 m) = 120;^circC, T(ro = 0,031 m) = 60;^circC

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