Considere U=e1, e2 base de R^2 e sejam v1=e1+2 e2, v2=2 e1+e2,w1=e1+e2, w2= e1+3 e2.
Verifique se os conjuntos V=v1, v2 e W=w1, w2 são bases de R^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a base canônica U=e1,e2 de R^2 e define
V=v1,v2 com v1=e1+2e2, v2=2e1+e2,
e
W=w1,w2 com w1=e1+e2, w2=e1+3e2.
Queremos decidir se V e W são bases de R^2.
Como em R^2 dois vetores formam base exatamente quando são linearmente independentes,
vão funcionar para isso os determinantes das matrizes cujas colunas são as coordenadas desses vetores na base canônica.

Passo 2

Para V, colocamos as coordenadas de v1 e v2 como colunas da matriz
MV = 1 & 2 2 & 1 ,
pois v1=(1,2) e v2=(2,1) na base U. Vamos calcular det(MV).

Passo 3

Calculando o determinante,
det(MV) =1cdot1 ;-;2cdot2 =1-4 =-3
Como det(MV)=-3neq0, os vetores v1,v2 são linearmente independentes e, portanto, V é uma base de R^2.

Passo 4

Para W, construímos a matriz cujas colunas são as coordenadas de w1 e w2:
MW = 1 & 1 1 & 3 ,
pois w1=(1,1) e w2=(1,3). Vamos calcular det(MW).

Passo 5

O determinante é
det(MW) =1cdot3 ;-;1cdot1 =3-1 =2
Como det(MW)=2neq0, os vetores w1,w2 também são linearmente independentes e formam, portanto, outra base de R^2.

Resposta

Tanto V quanto W são bases de R^2.

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