Considere base de e sejam .
Verifique se os conjuntos e são bases de .
Passo 1
O enunciado nos dá a base canônica de e define com , ,
e com , .
Queremos decidir se e são bases de .
Como em dois vetores formam base exatamente quando são linearmente independentes,
vão funcionar para isso os determinantes das matrizes cujas colunas são as coordenadas desses vetores na base canônica.
Passo 2
Para , colocamos as coordenadas de e como colunas da matriz
pois v1=(1,2) e v2=(2,1) na base U. Vamos calcular det(MV).
Passo 3
Calculando o determinante,
det(MV) =1cdot1 ;-;2cdot2 =1-4 =-3
Como det(MV)=-3neq0, os vetores v1,v2 são linearmente independentes e, portanto, V é uma base de R^2.
Passo 4
Para W, construímos a matriz cujas colunas são as coordenadas de w1 e w2:
MW = 1 & 1 1 & 3 ,
pois w1=(1,1) e w2=(1,3). Vamos calcular det(MW).
Passo 5
O determinante é
det(MW) =1cdot3 ;-;1cdot1 =3-1 =2
Como det(MW)=2neq0, os vetores w1,w2 também são linearmente independentes e formam, portanto, outra base de R^2.